第7章-定积分的应用与广义积分--自测题1答案

第7章定积分的应用与广义积分自测题1答案一、填空题1．广义积分2012xxedx。2．11nxdxn收敛，则自然数若广义积分。二、选择题1曲线,xxyeye及xe所围成的平面图形的面积A(C)001()()()(lnln)()()()()eeeeeexxeeeexxxxAeedxBydyyCeedxDeedx　　　　　　　　2曲线3cos和1cos所围成的平面图形的公共部分的面积A(D)42432342432322022022022011()(1cos)(3cos)2211()(1cos)(3cos)2211()2(1cos)(3cos)2211()2(1cos)(2cos)22AddBddCddDdd　　　　3由曲线321yx和2x所围成的平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为(D)1()()()()2344ABCD　　　　　　　　　4星形线33cossinxatyat的全长为(D)2220022002()4sec3cos(sin)()2sec3cos(sin)()2sec3cos(sin)()4sec3cos(sin)AtattdtBtattdtCtattdtDtattdt　　　　5一圆盘的半径为R,而密度为r,其中r为圆盘上一点到圆心的距离,则其质量M(C)0000()()()2()()2()()4()RRRRArdrBrdrCrrdrDrdr　　　　　　　　　　　　6一火箭有燃料M,发射升空H后耗尽,设燃料消耗是均匀的,则运送燃料所做的功是W(C)20000()(1)()(1)()(1)()HHHHhhAMghdhBMghdhHHhCMgdhDMghdhH　　　　　　　　　7两个半径为a的直交圆柱面所围立体的体积V(A)222200222200()8()()16()()2()()4()aaaaAaxdxBaxdxCaxdxDaxdx　　　　　　　　　　8设1s是由抛物线24yx与直线,1,0xaxy所围成平面图形,2s是由抛物线24yx与直线,0xay所围成平面图形(01a),设1s,2s分别绕x轴,y轴旋转而得到的旋转体的体积为1V,2V,则1V+2V为最大时的a值是(D)111()1()()()342ABCD　　　　　　　　　　9xxx1sinlim之值（A）不存在但不是无穷大　　　)()(0)(1)(DCBA。二．求解下列各题1求心脏线4(1cos)和直线0及2围成的平面图形绕极轴旋转所成的旋转体的体积.cos,4cos(1cos),:sin,4sin(1cos).解　xxyy0228022)cos1(cos4)cos1(sin16ddxyV64112641112641112220220201222(cos)(cos)(sinsincos)(cos)(cos)(cos)coscos()()()ddttttdt令1602设曲线2(4)(0)yaxa.过此曲线和x轴交点2,0及2,0作曲线的两条法线,求曲线与这两条法线所围成的平面图形的面积最小时a的值.解　法线:,(),:().yaxyayax2241422022022)2144(2)2(41)4(2.)4(dxaaaxaxdxxaxaSxay　是偶函数238423231323132022().()axxaaxxaaaSaaSaaaaSaaS(),,.(),.03320682023　　　　为最小当时为最小aS68,.)2(41xay)2(41xay3求由不等式22cos2,1及2cos所确定的平面区域的面积.22cos2,:1,解交点:(1,),(1,)661,2cos,交点:(1,),(1,)33426321112(2cos24cos)6222Sdd6222126432cos(cos)dd6232216432sinsin.4求由曲线sin,cos,(02yxyxx)及直线0,2xx所围成的平面图形(图中阴影部分)绕x轴旋转而成的立体的体积.dxxxdxxxV24224022)cos(sin)sin(cosdxxdxx24402cos2cos.2sin22sin22440xx5求由曲线,1,2yxxx及x轴所围成的平面图形绕直线2y旋转而成的旋转体的体积.解把轴往下平移二单位则由所围成区域绕轴旋转而成体积为:,,,:xyxyxxx2212Vxdxxxdxy2221212224()()()4231232212xx).7232(6)14(21)122(386曲线21xyx绕x轴旋转得一旋转体,若把它在0x与x之间的一个旋转体的体积记作V,试问a为多少时,可使1()lim()2VaV.解:()()()()Vxdxxx12112111220202lim()lim(),V211122Vaa()(),21111222.1)(1,1,211122aaaa　舍去　　7甲车的速度2132vtt米/秒,乙车的速度241vt米/秒,沿相同方向作直线运动.开始时甲车在乙车前3米.问两车能否相遇?何时相遇?相遇时甲车前进了多少距离?乙车前进了多少距离?解：dttdtvSTTdtttdtvSTTTTTT00222302011)14()23(,　　　秒中前进距离分别为两车在秒后两车相遇设22TT.因故SSTTTTTTT1232232332330.解出T113,,.米即甲车前进秒　米乙车前进　　　　即回到出发点　秒显然不合题意18,1833,3,0.1.1121STSSTTS22121即乙车前进米.8行状为抛物线柱面的一水槽(见下图).其中槽宽0.75a米,槽长1.2b米,槽高1H米.问从槽内吸出满槽的水所需的功.解设抛物线截面方程为　　　由于抛物过点即　当水深米一薄层水的体积　　xkyaHakHkaHyHhxahdvabdyhHhH222244211,(,),..,abdyyHdWabHydyHy()WabHHydyydyabHambmHmgHmWgHH0023324150751211000240将　　代入　　焦耳.,.,,.2352焦耳.10分9边长为a的正方形板垂直插入水中,一个顶点保持在水面上.设此顶点所在的一边与水平面夹角为,求板所受的静压力,并求出最大静压力和最小静压力.解：当妨设否则考虑另一边即可。压力可为三部分之和04522232030,sinsinsinsinFhhdhhaa1332asincoscosIIsin232cossincossinIIIcoscossin(cos)cos22cos(cossin)sincos　aaaaaaaFhdhahaahFhdhahhaaaa23262332(cossin)sincossincos(sinsincos)coscossinFFFFa32cossindFdadFdaFa322453320452204522(sincos)..().　　故为最大值dFdFa0045023(),().当故为最小值.)sin(cos2)sin(cos2)4(2cos22,32得相同结果于是形心的水深或把质量集中于形心ahaFaah10金字塔高140米,其底为230米230米的正方形.若石头的密度为1200千克/米3.估计一下,将所有石头运上去所做的功是多少?解：2)140230230(hAh的截面积高度为dWghdh12002302301402()Wghdh120023023014020140()12002307557271200529003778509296102201402301409ghhdhghhhg(..)(..).291010.()焦耳11．，计算：dxex0)21min(解：原式12022dxedxxlnln2ln2ln2ln212ln21eex1221(ln)。12．证明：dxxxxdx0042411解：dxx140　收敛。令，则1xt0420411()111dxdtxtt　　dttt0421xxdx2401。131631xxxdx求。解：令　xt1)(1310362utdtttt　原式131201duuu13121201ln()uuu131233ln()14．求dxxx12arctan解：txarctan令　，242csctdtt原式tdtcot42tttdtcotcot4242442lnsint4122ln。15．求dxxx12)1(解：令　xttan，原式2242sintdt(cos)1242tdt(sin)tt12242412。