矩阵论期末考试题

天津工业大学矩阵论期末考试一、（8分）设矩阵111322211A，（1）求A的特征多项式和A的全部特征值；（2）求A的行列式因子、不变因子和初等因子；（3）求A的最小多项式，并计算IAA236；（4）写出A的Jordan标准型。解：（1）3111322211AI，A的特征多项式为3，A的特征值0321（2）A的行列式因子：1,1,3；A的不变因子：1,1,3；A的初等因子：3；（3）因为02A，03A，A的最小多项式3；13398663123236IAIAA（4）A的Jordan标准形000100010共5页第2页二、（8分）设22R是实数域R上的全体22实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。（1）求22R的维数，并写出其一组基；（2）设W是全体22实对称矩阵的集合，证明：W是22R的子空间，并写出W的维数和一组基；（3）给出22R上的线性变换T：TAAAT)(，22RA写出线性变换T在（1）中所取基下的矩阵。解：（1）22R的维数为4，一组基0001，0010，0100，1000；（2）WBA,,Rk，则BABABATTT)(，WBA；kAkAkATT)(；WkA。对加法和数乘封闭，所以是22R的子空间。W的维数为3，一组基00011A，01102A，10003A；（3）T在（1）中所取基下的矩阵为2000011001100002。共5页第3页三、（8分）（1）设132112A，求1A，2A，A，FA；（2）设nnijCaA)(，令ijjianA,max，证明：是nnC上的矩阵范数并说明具有相容性。解：（1）41A，152A，6A，20FA；（2）若0A，则至少有一个0ija，0max,ijjianA若0A，则0ija，ji,，0max,ijjianACk，AkankkankAijjiijji,,maxmaxnnCBA,，BAbnanbanBAijjiijjiijijji,,,maxmaxmax所以是nnC上的矩阵范数。22,,,maxmaxkkjkikjijikjikjibanbanABBAnnannbnannijjiijjiijjiijji,,2,2,maxmaxmaxmax所以是nnC上的相容矩阵范数。共5页第4页四（10分）设微分方程组0dd(0)xAxtxx，508316203A，0111x（1）求A的最小多项式)(Am；（3）求Ate；（3）求该方程组的解。解（1）3(1)IA，2()(1)Am；（2）()(1)trabett，1408()3162014AtttterAetttt；（3）0112()1916Atttxtexett共5页第5页五（10分）对下面矛盾方程组bAx312312111xxxxxx（1）求A的满秩分解FGA；（2）由满秩分解计算A；（3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LSx。解（1）001011101111100111010AFG（不唯一）（2）11211126422A；（3）11132LSxAb共5页第6页六（6分）见课本第五章例题。七（5分）设mnrAR，证明rank()nIAAnr。证1rrTTTrnnnOIOOIAAIVUUVIVVOOOOOOrTTnrOOIOVIVVVOIOO所以rank()nIAAnr。八（5分）证明矩阵2121212311122222224333333644421(1)(1)nnnnnnnnnnA（1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。证：（1）1)1(11)1(111nniikkkkRkG互不交，说明A有n个不同的特征值，从而可对角化。（2）kG关于实轴对称，如果A有复特征值必成对共轭出现，而kG中只有一个特征值，所以必为实数。共5页第7页