高二导数讲义

1导数【知识归纳】1、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量y=f（x0+x）－f（x0），比值xy叫做函数y=f（x）在x0到x0+x之间的平均变化率，即xy=xxfxxf)()(00。如果当0x时，xy有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’（x0）或y’|0xx。即f（x0）=0limxxy=0limxxxfxxf)()(00。说明：（1）函数f（x）在点x0处可导，是指0x时，xy有极限。如果xy不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。（2）x是自变量x在x0处的改变量，0x时，而y是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y=f（x0+x）－f（x0）；（2）求平均变化率xy=xxfxxf)()(00；（3）取极限，得导数f’(x0)=xyx0lim。2、导数的几何意义函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。相应地，切线方程为y－y0=f/（x0）（x－x0）。3、几种常见函数的导数:①0;C②1;nnxnx③(sin)cosxx;④(cos)sinxx;⑤();xxee⑥()lnxxaaa;⑦1lnxx;⑧1lglogaaoxex.4、两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(.)'''vuvu法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uvvuuv若C为常数,'''''0)(CuCuCuuCCu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''CuCu法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方：vu‘=2''vuvvu（v0）。2形如y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|X=y＇|U·u＇|X5、单调区间：一般地，设函数)(xfy在某个区间可导，如果'f)(x0，则)(xf为增函数；如果'f0)(x，则)(xf为减函数；如果在某区间内恒有'f0)(x，则)(xf为常数；6、极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；7、最值：一般地，在区间[a，b]上连续的函数f)(x在[a，b]上必有最大值与最小值。①求函数ƒ)(x在(a，b)内的极值；②求函数ƒ)(x在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③将函数ƒ)(x的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。【常见综合题方法导航】1、关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)('xf得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征)()(xgxf恒成立0)()()(xgxfxh恒成立；2、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x轴即方程根的个数问题；（1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：第一种：转化为恒成立问题即0)(0)(''xfxf或在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法；第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；第三种：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别；（2）函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可；3、函数的切线问题；问题1：在点处的切线，易求；问题2：过点作曲线的切线需四个步骤；第一步：设切点，求斜率；第二步：写切线（一般用点斜式）；第三步：根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：判断三次方程根的个数；3经典题型分类解析【导数定义的应用】例1、求抛物线2xy上的点到直线02yx的最短距离.1、（福建）已知对任意实数x，有()()()()fxfxgxgx，，且0x时，()0()0fxgx，，则0x时（）A．()0()0fxgx，B．()0()0fxgx，C．()0()0fxgx，D．()0()0fxgx，2、已知P（－1，1），Q（2，4）是曲线2xy上的两点，则与直线PQ平行的曲线2xy的切线方程是_____________.3、已知函数2)(23xcbxaxxxf在处取得极值，并且它的图象与直线33xy在点（1，0）处相切，则函数)(xf的表达式为____m2.【利用导数研究函数的图像】例1、（安徽高考）设a＜b,函数2()()yxaxb的图像可能是（）1、设()fx是函数()fx的导函数，将()yfx和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是。yxOyxOyxOyxO图1图2图3图44【利用导数解决函数的单调性及极值问题】例1、当0x，证明不等式xxxx)1ln(1.例2、（全国高考）已知函数32()1fxxaxx，aR．（Ⅰ）讨论函数()fx的单调区间；（Ⅱ）设函数()fx在区间2133，内是减函数，求a的取值范围．【变式1】（全国高考）若函数11213123xaaxxxf在区间4,1上是减函数，在区间,6上是增函数，求实数a的取值范围．【变式2】（浙江高考）已知函数32()(1)(2)fxxaxaaxb(,)abR．若函数()fx在区间(1,1)上不单调．．．，求a的取值范围．练习1、利用函数的单调性，证明：ln,0xxxex变式1：证明：xxx1ln111，1x变式2：（理科）设函数f(x)=(1+x)2－ln(1+x)2.若关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.2、已知函数321()23fxxbxxa，2x是)(xf的一个极值点．（Ⅰ）求()fx的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1,3]x时，22()3fxa恒成立，求a的取值范围．3、设函数2()ln()fxxax,若当1x时，()fx取得极值，求a的值，并讨论()fx的单调性.4、设0a≥，2()1ln2ln(0)fxxxaxx．（Ⅰ）令()()Fxxfx，讨论()Fx在(0)，∞内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当1x时，恒有2ln2ln1xxax．55、设22(),1xfxx()52(0)gxaxaa。（1）求()fx在[0,1]x上的值域；（2）若对于任意1[0,1]x，总存在0[0,1]x,使得01()()gxfx成立,求a的取值范围。【利用导数的几何意义研究曲线的切线问题】例1、（江西高考）若存在过点(1,0)的直线与曲线3yx和21594yaxx都相切，则a等于A．1或25-64B．1或214C．74或25-64D．74或7【变式】（辽宁高考）设P为曲线C：223yxx上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为04，，则点P横坐标的取值范围为（）A．112，B．10，C．01，D．112，6综合实战训练1.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f(x)的图象可能为()2.已知曲线S:y=3x－x3及点(2,2)P,则过点P可向S引切线的条数为()(A)0(B)1(C)2(D)33.C设S上的切点00(,)xy求导数得斜率，过点P可求得:200(1)(2)0xx.4.函数cossinyxxx在下面哪个区间内是增函数（）.3()(,)22A()(,2)B35()(,)22C()(2,3)D5.y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于()(A)6(B)0(C)5(D)16.函数f(x)＝x3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是()(A)1，－1(B)3，-17(C)1，－17(D)9，－197.设l1为曲线y1=sinx在点(0，0)处的切线，l2为曲线y2=cosx在点(2,0)处的切线，则l1与l2的夹角为___________.8.设函数f(x)=x3+ax2+bx－1，若当x=1时，有极值为1，则函数g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间为.9．（湖北）已知函数()yfx的图象在点(1(1))Mf，处的切线方程是122yx，则(1)(1)ff10．（湖南）函数3()12fxxx在区间[33]，上的最小值是11．（浙江）曲线32242yxxx在点(13)，处的切线方程是9．.已知函数32()(,)fxxaxbabR（Ⅰ）若函数)(xf图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：33a；（Ⅱ）若0,1x，函数()yfx图像上任意一点处的切线的斜率为k，试讨论1k≤的充要条件。12．(安徽)设函数f（x）=-cos2x-4tsin2xcos2x+4t2+t2-3t+4,x∈R,其中t≤1，将f(x)的最小值记为g(t).(Ⅰ)求g(t)的表达式；(Ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.实战训练B1．（海南）曲线12exy在点2(4e)，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．29e2Ｂ．24eＣ．22eＤ．2e72．（海南）曲线xye在点2(2)e，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e3．（江苏）已知二次函数2()fxaxbxc的导数为'()fx，'(0)0f，对于任意实数x都有()0fx，则(1)'(0)ff的最小值为（）A．3B．52C．2D．324．（江西）5．若π02x，则下列命题中正确的是（）A．3sinπxxB．3sinπxxC．224sinπxxD．224sinπxx5．（江西）若π02x，则下列命题正确的是（）A．2sinπxxB．2sinπxxC．3sinπxxD．3sinπxx6．（辽宁）已知()fx与()gx是定义在R上的连续函数，如果()fx与()gx仅当0x时的函数值为0，且()()fxgx≥，那么下列情形不可能．．．出现的是（）A．0是()fx的极大值，也是()gx的极大值B．