时间序列分析试题

时间序列分析试题1．（1）给出),(qpARMA模型的一般形式及其模型参数。qtqtttptptttXXXX−−−−−−−−−−++++=εθεθεθεφφφ22112211。（2）若时间序列为}{tX，试给出其差分序列。}{1−−ttXX。（3）设)1,2(ARMA为1213.04.05.0−−−−++=tttttXXXεε，试给出其特征方程。04.05.02=−−λλ。（4）给出一阶自回归模型)1(ARtttXXεφ++=−110的特征跟和平稳域。特征根为φλ=，平稳域为1||φ。（5）对于)1,2(ARMA1211.05.0−−−−++=tttttaXXXεε，确定a的取值范围，使模型平稳。15.0−a，15.0+a，11−a，所以平稳域为：5.01−a。（6）给出一阶移动平均模型)1(MA13.0−−=tttXεε的自相关函数。此时0)3.0(1=−=−tttEEXεε211291.0)3.0)(3.0()0(εσεεεεγ=−−==−−tttttEEX，221113.0)3.0)(3.0()()1(εσεεεεγ−=−−==−−−−ttttttEXXE，0)3.0)(3.0()()(11=−−==−−−−−ktktttkttEXXEkεεεεγ（2≥k），33.0)0()1()1(−==γγρ，0)0()()(==γγρkk（2≥k）。（7）给出二阶自回归模型)2(ARttttXXXε++=−−212.05.0满足的Yule-Walker方程。)1(2.05.0)1(ρρ+=，2.0)1(5.0)2(+=ρρ；2．设时间序列}{tX满足)1,2(ARMAttBXBBε)4.01()5.01(2+=+−，（1）试分析序列}{tX的平稳性，（2）计算前3个Green函数0G、1G、2G。（1）此时特征方程为：05.02=+−λλ，特征根满足122||2,1=λ，序列}{tX平稳。（2）此时∑∞==0ktkktBGXε，tktkkBBGBBεε)4.01()5.01(02+=+−∑∞=，比较同次幂系数有：10=G，4.001=−GG，05.021=+−−−kkkGGG（2≥k）。3．设某时间序列的前10个样本自相关系数kρˆ和样本偏自相关系数kkφˆ如下表：k12345678910kρˆ-0.470.06-0.070.040.000.04-0.040.06-0.050.01kkφˆ-0.47-0.21-0.18-0.10-0.050.02-0.01-0.060.010.00（1）试给出时间序列的适用模型；（2）给出模型参数的矩估计。显然自相关系数1阶截尾，偏自相关系数拖尾；因此适用模型应为)1(MA：11−−=tttXεθε；此时2211111)1())(()()0(εσθεθεεθεγ+=−−==−−ttttttEXXE，21211111))(()()1(εσθεθεεθεγ−=−−==−−−−ttttttEXXE；2111)0()1()1(θθγγρ+−==，即0)1()1(121=++ρθθρ，根据可逆性要求，解得70.01=θ。4．设时间序列}{tX满足)1,1(ARMA116.08.0−−−+=ttttXXεε，若3.0100=X、01.0100=ε，试给出未来3期的预报值。234.06.08.0)6.08.0()1(ˆ100100100101100101100=−=−+==εεεXXEEXX，1872.08.0)6.08.0()2(ˆ101101102101102100==−+==EXXEEXXεε，14976.08.0)6.08.0()3(ˆ102102103102103100==−+==EXXEEXXεε；5．设时间序列}{tX满足)1,1(ARMA1125.05.0−−−+=ttttXXεε，其中),0(~2σεWNt，（1）试求)1(ρ；（2）证明}{tX的自相关系数满足125.0ρρ=。此时∑∞=−=0kktktGXε，所以101025.05.0−∞=−−∞=−−+=∑∑ttkktkkktkGGεεεε，比较两端系数有：10=G，25.025.05.001=−=GG，125.0GG=，112)5.0(5.0GGGkk−==；∑∑∞=∞=+===0221022)5.0(1)0(kkkktGGEXγ，∑∑∑∑∞=−∞=−∞=−−∞=−−+====112211110101)5.0())(()1(kkkkkkktkkktkttGGGGGGEXEXεεγ，∑∑∑∑∞=∞=−∞=−−∞=−−+====12211220202)5.0(5.0))(()2(kkkkkkktkkktkttGGGGGGEXEXεεγ，（1）27.0)5.0(1)5.0()0()1()1(0221112211≈++==∑∑∞=∞=−kkkkGGGγγρ；（2）∑∑∞=∞=++==022112211)5.0(1)5.0(5.0)0()2()2(kkkkGGGγγρ)1(5.0)5.0()5.0(5.0)5.0(1)5.0(112211122110221112211ρ=++++=∑∑∑∑∞=−∞=∞=∞=−kkkkkkkkGGGGGGG。6．证明：满足)1(AR的时间序列}{tX方差为：221)(φσε−=tXVar；特别当}{tX满足随机游走模型时，求}{tX的方差。解：此时tttXXεφ+=−1，因此)()(1tttXVarXVarεφ+=−)()(12ttVarXVarεφ+=−（因为tε与1−tX相互独立）22)(εσφ+=tXVar（因为tX平稳）于是221)(φσε−=tXVar。特别当}{tX满足随机游走模型时，1=φ，此时∞=)(tXVar。7．判定下述模型序列的稳定性：（1）1219.04.03.1−−−−=+−tttttXXXεε；此时的特征方程为04.03.12=+−λλ，解得8.01=λ，5.02=λ；模型序列平稳。（2）21216.07.11.07.0−−−−+−=+−ttttttXXXεεε；此时的特征方程为01.07.02=+−λλ，解得2.01=λ，5.02=λ；模型序列平稳。（3）21212.06.06.1−−−−+−=+−ttttttXXXεεε；此时的特征方程为06.06.12=+−λλ，解得11=λ，6.02=λ；模型序列不平稳，但是临界平稳。（4）tttXXε=−−11.1；此时的特征方程为01.12=−λλ，解得1.11=λ，02=λ；模型序列不平稳。（5）ttXBε=−2)1(；此时的特征方程为0)1(2=−λ，解得121==λλ；模型序列不平稳，但是临界平稳。8．求下述模型序列的前5个逆函数和逆转形式：（1）tttXXε=−−15.0；因为105.0−∞=−−==∑ttkktktXXXIε，所以10=I，5.01−=I，0432===III；ttXB)5.01(−=ε。（2）214.03.1−−+−=ttttXεεε；因为∑∑∑∞=−−∞=−−∞=−+−=020104.03.1kktkkktkkktktXIXIXIX，比较两端系数就有：2344.03.10III+−=，1234.03.10III+−=，0124.03.10III+−=，013.10II−=，01I=；解得：3.11=I，29.12−=I，157.13−=I，9881.04−=I；ttttXBBXBBXBB)5.015.08.018.0(3.01)5.01)(8.01(14.03.1112−−−=−−=+−=ε。（3）2114.03.15.0−−−+−=−tttttXXεεε；因为∑∑∑∞=−−∞=−−∞=−−+−=−0201014.03.15.0iitiiitiiitittXIXIXIXX，比较两端系数就有：2344.03.10III+−=，1234.03.10III+−=，0124.03.10III+−=，013.15.0II−=−，01I=；解得：8.01−=I，64.02−=I，512.03−=I，4096.04−=I；tiitttXXBXBBB)8.0(8.0114.03.115.0102∑∞==−=+−−=ε。9．某序列的逆函数为：5.01=I，2)7.0(3.0−=kkI（2≥k），求模型表达式。ttkkkiititXBBBXBBBXI)7.013.05.01())7.0(3.05.01(222220−++=++==∑∑∞=−−∞=−ε，1217.005.02.1−−−−=+−tttttXXXεε。10．若ARMA模型的Green函数为：1)9.0(4.0−=kkG（1≥k）；求模型及参数。ttkkkkktkttBBBBGXεεεε)9.014.01())9.0(4.01(1111−+=+=+=∑∑∞=−−∞=−，115.09.0−−−=−ttttXXεε。11．对于模型115.06.0−−−=−ttttXXεε，给出1=l和2=l的预测。1115.06.0)5.06.0()1(ˆ−−+−+=−+==ttttttttXXEEXXεεεε，)5.06.0()2(ˆ112tttttXEEXXεε−+==+++113.01.036.05.06.0−+−+=−=tttttXEXεεε；此时111θφ−=G，11−=kkGGφ（2≥k），于是∑∑∞=−−−∞=−+=+⋅⋅+⋅⋅+⋅==022101)6.0(1.0)6.0(1.06.01.01.0)1(ˆkktktttkktktGXεεεεε，∑∑∞=−+∞=−+==0102)6.0(1.0)2(ˆkktkkktktGXεε；此时111θφ−=I，11−=kkIIθ（2≥k），于是∑∑∑∞=−+−∞=−++∞=−++==+==111111111)5.0(1.0)()1(ˆkktkkktktkktkttXXIXIEEXXε，∑∑∞=−+++∞=−+++=+==22112122)()2(ˆkktkttkktkttXIEXIXIEEXXε∑∑∞=−+−∞=−++=22111)5.0(1.0)5.0(1.0kktkkktkXX。12．对于)1,2(ARMA1214.03.0−−−−+−=tttttXXXεε，其中)256,0(~NIDtε，给定345=−tX，364=−tX，123==−−ttXX，161−=−tX，35−=tX，04=−tε；计算)(ˆlXt（4,3,2,1=l）及区间估计；若371−=+tX，修正)(ˆlXt（4,3,2=l）。由435434.03.0−−−−−−+−=tttttXXXεε解得8.243−=−tε，由324324.03.0−−−−−−+−=tttttXXXεε解得72.202=−tε，由213214.03.0−−−−−−+−=tttttXXXεε解得988.241−=−tε，由1214.03.0−−−−+−=tttttXXXεε解得7048.8−=tε，于是tttttttttXXXXEEXXεεε4.03.0)4.03.0()1(ˆ1111−−=−+−==−+−+，ttttttttXEXXXEEXX3.0)4.03.0()2(ˆ11212−=−+−==+++++εε，12231233.0)4.03.0()3(ˆ+++++++−=−+−==ttttttttEXEXXXEEXXεε，23342343.0)4.03.0()4(ˆ+++++++−=−+−==ttttttttEXEXXXEEXXεε；此时111θφ−=G，2211−−+=kkkGGGφφ（2≥k），2562=εσ，05.0=α；)(ˆlXt的区间估计为212121)(ˆ−+++±ltGGZlXεασ；若371−=+tX，则)1(ˆ11tttXX−=++ε；1112124.03.0)4.03.0()2(ˆ++++++−−=−+−==tttttttttXXXXEEXXεεε，12231233.0)4.03.0()3(ˆ+++++++−=−+−==ttttttttXEXXXEEXXεε，23342343.0)4.03.0()4(ˆ+++++++−=−+−==ttttt