您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 临时分类 > 一元二次压轴题(含答案详解)
第1页(共17页)2016年09月04日wujun的初中数学组卷(一)一.解答题(共10小题)1.(2016•濉溪县三模)如图,四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形,a,b,c是Rt△ABC和Rt△BED边长,易知,这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.请解决下列问题:(1)写出一个“勾系一元二次方程”;(2)求证:关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根;(3)若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根,且四边形ACDE的周长是6,求△ABC面积.2.(2015•黄冈中学自主招生)已知关于x的方程(m2﹣1)x2﹣3(3m﹣1)x+18=0有两个正整数根(m是正整数).△ABC的三边a、b、c满足,m2+a2m﹣8a=0,m2+b2m﹣8b=0.求:(1)m的值;(2)△ABC的面积.第2页(共17页)3.(2014•江西模拟)等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm,点P、Q分别从A、C两点同时出发,均以1cm/秒的相同速度作直线运动,已知P沿射线AB运动,Q沿边BC的延长线运动,PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为t,△PCQ的面积为S.(1)求出S关于t的函数关系式;(2)当点P运动几秒时,S△PCQ=S△ABC?(3)作PE⊥AC于点E,当点P、Q运动时,线段DE的长度是否改变?证明你的结论.4.(2013•成都模拟)已知关于x的一元二次方程的两根是一个矩形两邻边的长.(1)m取何值时,方程有两个正实数根;(2)当矩形的对角线长为时,求m的值.第3页(共17页)5.(2012•湛江)先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题:例题:解一元二次不等式x2﹣4>0解:∵x2﹣4=(x+2)(x﹣2)∴x2﹣4>0可化为(x+2)(x﹣2)>0由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”,得解不等式组①,得x>2,解不等式组②,得x<﹣2,∴(x+2)(x﹣2)>0的解集为x>2或x<﹣2,即一元二次不等式x2﹣4>0的解集为x>2或x<﹣2.(1)一元二次不等式x2﹣16>0的解集为;(2)分式不等式的解集为;(3)解一元二次不等式2x2﹣3x<0.6.(2012•重庆模拟)已知:如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积等于6cm2?(2)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,PQ的长度等于5cm?(3)在(1)中,△PQB的面积能否等于8cm2?说明理由.第4页(共17页)7.(2009•淄博)如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止.已知在相同时间内,若BQ=xcm(x≠0),则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm.(1)当x为何值时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形;(2)当x为何值时,以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形;(3)以P、Q、M、N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能,求x的值;如果不能,请说明理由.8.(2009•南宁)如图,要设计一个等腰梯形的花坛,花坛上底长120米,下底长180米,上下底相距80米,在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道,上下底之间有两条纵向甬道,各甬道的宽度相等.设甬道的宽为x米.(1)用含x的式子表示横向甬道的面积;(2)根据设计的要求,甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系,比例系数是5.7,花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元,那么当甬道的宽度为多少米时,所建花坛的总费用为239万元?第5页(共17页)9.(2016•荆州)已知在关于x的分式方程①和一元二次方程(2﹣k)x2+3mx+(3﹣k)n=0②中,k、m、n均为实数,方程①的根为非负数.(1)求k的取值范围;(2)当方程②有两个整数根x1、x2,k为整数,且k=m+2,n=1时,求方程②的整数根;(3)当方程②有两个实数根x1、x2,满足x1(x1﹣k)+x2(x2﹣k)=(x1﹣k)(x2﹣k),且k为负整数时,试判断|m|≤2是否成立?请说明理由.10.(2014•杭州模拟)阅读下列材料:求函数的最大值.解:将原函数转化成x的一元二次方程,得.∵x为实数,∴△==﹣y+4≥0,∴y≤4.因此,y的最大值为4.根据材料给你的启示,求函数的最小值.第6页(共17页)2016年09月04日wujun的初中数学组卷参考答案与试题解析一.解答题(共10小题)1.(2016•濉溪县三模)如图,四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形,a,b,c是Rt△ABC和Rt△BED边长,易知,这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.请解决下列问题:(1)写出一个“勾系一元二次方程”;(2)求证:关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根;(3)若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根,且四边形ACDE的周长是6,求△ABC面积.【考点】一元二次方程的应用;勾股定理的证明.菁优网版权所有【专题】几何图形问题;压轴题.【分析】(1)直接找一组勾股数代入方程即可;(2)通过判断根的判别式△的正负来证明结论;(3)利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值,根据完全平方公式求得ab的值,从而可求得面积.【解答】(1)解:当a=3,b=4,c=5时勾系一元二次方程为3x2+5x+4=0;(2)证明:根据题意,得△=(c)2﹣4ab=2c2﹣4ab∵a2+b2=c2∴2c2﹣4ab=2(a2+b2)﹣4ab=2(a﹣b)2≥0即△≥0∴勾系一元二次方程必有实数根;(3)解:当x=﹣1时,有a﹣c+b=0,即a+b=c∵2a+2b+c=6,即2(a+b)+c=6∴3c=6∴c=2第7页(共17页)∴a2+b2=c2=4,a+b=2∵(a+b)2=a2+b2+2ab∴ab=2∴S△ABC=ab=1.【点评】此类题目要读懂题意,根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题.2.(2015•黄冈中学自主招生)已知关于x的方程(m2﹣1)x2﹣3(3m﹣1)x+18=0有两个正整数根(m是正整数).△ABC的三边a、b、c满足,m2+a2m﹣8a=0,m2+b2m﹣8b=0.求:(1)m的值;(2)△ABC的面积.【考点】根与系数的关系;一元二次方程的定义;一元二次方程的解;解一元二次方程-因式分解法;等腰三角形的性质;勾股定理;勾股定理的逆定理.菁优网版权所有【专题】应用题;压轴题;分类讨论;方程思想.【分析】(1)本题可先求出方程(m2﹣1)x2﹣3(3m﹣1)x+18=0的两个根,然后根据这两个根都是正整数求出m的值.(2)由(1)得出的m的值,然后将m2+a2m﹣8a=0,m2+b2m﹣8b=0.进行化简,得出a,b的值.然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a,b的值,进而得出三角形的面积.【解答】解:(1)∵关于x的方程(m2﹣1)x2﹣3(3m﹣1)x+18=0有两个正整数根(m是整数).∵a=m2﹣1,b=﹣9m+3,c=18,∴b2﹣4ac=(9m﹣3)2﹣72(m2﹣1)=9(m﹣3)2≥0,设x1,x2是此方程的两个根,∴x1•x2==,∴也是正整数,即m2﹣1=1或2或3或6或9或18,又m为正整数,∴m=2;(2)把m=2代入两等式,化简得a2﹣4a+2=0,b2﹣4b+2=0当a=b时,当a≠b时,a、b是方程x2﹣4x+2=0的两根,而△>0,由韦达定理得a+b=4>0,ab=2>0,则a>0、b>0.①a≠b,时,由于a2+b2=(a+b)2﹣2ab=16﹣4=12=c2故△ABC为直角三角形,且∠C=90°,S△ABC=.②a=b=2﹣,c=2时,因<,故不能构成三角形,不合题意,舍去.③a=b=2+,c=2时,因>,故能构成三角形.第8页(共17页)S△ABC=×(2)×=综上,△ABC的面积为1或.【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点,本题中分类对a,b的值进行讨论,并通过计算得出三角形的形状是解题的关键.3.(2014•江西模拟)等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm,点P、Q分别从A、C两点同时出发,均以1cm/秒的相同速度作直线运动,已知P沿射线AB运动,Q沿边BC的延长线运动,PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为t,△PCQ的面积为S.(1)求出S关于t的函数关系式;(2)当点P运动几秒时,S△PCQ=S△ABC?(3)作PE⊥AC于点E,当点P、Q运动时,线段DE的长度是否改变?证明你的结论.【考点】一元二次方程的应用;全等三角形的应用.菁优网版权所有【专题】几何动点问题;压轴题.【分析】由题可以看出P沿AB向右运动,Q沿BC向上运动,且速度都为1cm/s,S=QC×PB,所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系,另外应注意P点的运动轨迹,它不仅在B点左侧运动,达到一定时间后会运动到右侧,所以一些问题可能会有两种可能出现的情况,这时我们应分条回答.【解答】解:(1)当t<10秒时,P在线段AB上,此时CQ=t,PB=10﹣t∴当t>10秒时,P在线段AB得延长线上,此时CQ=t,PB=t﹣10∴(4分)(2)∵S△ABC=(5分)∴当t<10秒时,S△PCQ=整理得t2﹣10t+100=0无解(6分)当t>10秒时,S△PCQ=整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5(舍去负值)(7分)∴当点P运动秒时,S△PCQ=S△ABC(8分)第9页(共17页)(3)当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.证明:过Q作QM⊥AC,交直线AC于点M易证△APE≌△QCM,∴AE=PE=CM=QM=t,∴四边形PEQM是平行四边形,且DE是对角线EM的一半.又∵EM=AC=10∴DE=5∴当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.同理,当点P在点B右侧时,DE=5综上所述,当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.【点评】做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系,利用已知量来表示未知量,许多问题就会迎刃而解.4.(2013•成都模拟)已知关于x的一元二次方程的两根是一个矩形两邻边的长.(1)m取何值时,方程有两个正实数根;(2)当矩形的对角线长为时,求m的值.【考点】根的判别式;根与系数的关系;勾股定理;矩形的性质.菁优网版权所有【专题】计算题;压轴题.第10页(共17页)【分析】(1)设矩形两邻边的长为a,b,根据△的意义得到△≥0,即(m+1)2﹣4(m2+1)≥0,解得m≥,而a、b都是正数,利用一元二次方程根与系数的关系有a+b=m+1>0,ab=m2+1>0,可解得m>﹣1,综合可得到m的取值范围;(2)根据矩形的性质和勾股定理得到a2+b2=()2,变形有(a+b)2﹣2ab=5,把a+b=m+1,ab=m2+1代入得(m+1)2﹣2(m2+1)=5,整理得到m2+4m﹣12=0,解方程得到m1=2,m2=﹣6,然后即可得到符合条件的m的值.【解答】解:(1)设矩形两邻边的长为a,b,∵关于x的一元二次方程的两根是一个矩形两邻边的长,∴△≥0,即(m+1)2﹣4(m2+1)≥0,解得m≥,a+b=m+1>0,ab=m2+1>0,解得m>﹣1,∴m≥时,方程有两个正实数根;(2)∵矩形的对角线长为,∴a2+b2=()2,∴(a+b)2﹣2ab=5,∴(m+1)2﹣2(m2+1)=5,即m2+4m﹣12=0,解得m1=2,m2=﹣6,∵m≥,∴m=2,所以当矩形的对角线长为时,m的值为2.【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;
本文标题:一元二次压轴题(含答案详解)
链接地址:https://www.777doc.com/doc-2345301 .html