高中物理磁场——聚焦与发散问题(含答案)

第1页（共21页）磁聚焦与磁发散问题专题带电粒子在圆形磁场中的运动。当粒子做圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等时，会出现磁发散或磁聚焦现象。磁发散——当粒子由圆形匀强磁场的边界上某点以不同速度射入磁场时，会平行射出磁场，如图所示。磁聚焦——当速度相同的粒子平行射入磁场中，会在圆形磁场中汇聚于圆上一点，如图所示。[例1]真空中有一半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里，Ox为过边界上O点的切线，如图所示。从O点在纸面内向各个方向发射速率相同的电子，设电子间相互作用忽略，且电子在磁场中运动的圆周轨迹半径也为r。所有从磁场边界射出的电子，其速度方向有何特征？[解析]如图所示，无论入射的速度方向与x轴的夹角为何值，入射点O、出射点A、磁场圆心O1和轨道圆心O2，一定组成边长为r的菱形，因为OO1⊥Ox，所以O2A⊥Ox。而O2A与电子射出的速度方向垂直，可知电子射出方向一定与Ox轴方向平行，即所有的电子射出圆形磁场时，速度方向均与Ox轴正向相同。[例2]如图所示，真空中有一个半径r＝0.5m的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强度大小B＝2×10－3T，方向垂直于纸面向外，在x＝1m和x＝2m之间的区域内有一个方向沿y轴正向的匀强电场区域，电场强度E＝1.5×103N/C。在x＝3m处有一垂直x轴方向的足够长的荧光屏，从O点处向不同方向发射出速率相同的比荷mq＝1×109C/kg，且带正电的粒子，粒子的第2页（共21页）运动轨迹在纸面内，一个速度方向沿y轴正方向射入磁场的粒子，恰能从磁场最右侧的A点离开磁场，不计重力及阻力的作用，求：(1)沿y轴正方向射入的粒子进入电场时的速度和粒子在磁场中的运动时间；(2)速度方向与y轴正方向成θ＝30°角(如图中所示)射入磁场的粒子，离开磁场时的速度方向；(3)(2)中的粒子最后打到荧光屏上，该发光点的位置坐标。[解析](1)由题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径R＝r＝0.5m，由Bqv＝mv2R，可得粒子进入电场时的速度为v＝qBRm＝1×109×2×10－3×0.5m/s＝1×106m/s。在磁场中运动的时间为t1＝14T＝πm2Bq＝3.142×109×2×10－3s＝7.85×10－7s。(2)粒子的运动圆轨迹和磁场圆的交点O、C以及两圆的圆心O1、O2组成菱形，CO2和y轴平行，所以v和x轴平行向右，如图所示。(3)粒子在磁场中转过120°角后从C点离开磁场，速度方向和x轴平行，做直线运动，再垂直电场线进入电场，如图所示：在电场中的加速度大小为：a＝Eqm＝1.5×103×1×109m/s2＝1.5×1012m/s2。粒子穿出电场时有：vy＝at2＝a×Δxv＝1.5×106m/s，第3页（共21页）tanα＝vyvx＝1.5×1061×106＝1.5。在磁场中y1＝1.5r＝1.5×0.5m＝0.75m。在电场中侧移为：y2＝12at22＝12×1.5×1012×2610112m＝0.75m。飞出电场后粒子做匀速直线运动y3＝Δxtanα＝1×1.5m＝1.5m，y＝y1＋y2＋y3＝0.75m＋0.75m＋1.5m＝3m。则该发光点的坐标为(3m,3m)。[答案](1)1×106m/s7.85×10－7s(2)与x轴平行向右(3)(3m,3m)[例3]真空中有一半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里，Ox为过边界上O点的切线，如图所示，速率相同，方向都沿Ox方向的不同电子，在磁场中运动的圆周轨迹半径也为r。进入圆形匀强磁场后，所有从磁场边界出射的电子，离开磁场的位置有何特征？【解析】由A点进入磁场的电子，其圆周轨道和圆形磁场的两交点以及两圆心组成边长为r的菱形，v0和AO1垂直，所以AO1的对边也和v0垂直，即AO1的对边和Ox方向垂直，所以AO1的对边即为O2O，电子从O点离开磁场，因此，所有从磁场边界出射的电子，离开磁场的位置都在O点。[例4]如图甲所示，平行金属板A和B间的距离为d，现在A、B板上加上如图乙所示的方波形电压，t＝0时，A板比B板的电势高，电压的正向值为u0，反向值为－u0，现有质量为m、带电荷量为q的正粒子组成的粒子束，从AB的中点O1以平行于金属板方向O1O2的速度v0＝3qu0T3dm射入，所有粒子在AB间的飞行时间均为T，不计重力影响。求：(1)粒子射出电场时位置离O2点的距离范围及对应的速度；(2)若要使射出电场的粒子经某一圆形区域的匀强磁场偏转后第4页（共21页）都能通过圆形磁场边界的一个点处，而便于再收集，则磁场区域的最小半径和相应的磁感应强度是多大？[解析](1)当粒子由t＝nT时刻进入电场，向下侧移最大，则：s1＝qu02dm232T＋qu0dm332TT－qu02dm23T＝7qu0T218dm。当粒子由t＝nT＋2T3时刻进入电场，向上侧移最大，则s2＝qu02dm23T＝qu0T218dm，在距离O2中点下方7qu0T218dm至上方qu0T218dm的范围内有粒子射出。打出粒子的速度都是相同的，在沿电场线方向速度大小为vy＝u0qdm·T3＝u0qT3dm。所以射出速度大小为v＝v02＋vy2＝dmqTudmqTudmqTu3233302020。设速度方向与v0的夹角为θ，则tanθ＝vyv0＝13，θ＝30°。(2)要使平行粒子能够交于圆形磁场区域边界且有最小区域时，磁场直径最小值与粒子宽度相等，粒子宽度D＝(s1＋s2)cos30°，即D＝4qu0T29dmcos30°＝23qu0T29dm。故磁场区域的最小半径为r＝D2＝3qu0T29dm。而粒子在磁场中做圆周运动有qvB＝mv2r。解得B＝23mqT。[例4]电子质量为m、电荷量为e，从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限，射入时速度方向不同，速度大小均为v0，如图所示。现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，第5页（共21页）磁感应强度为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏与y轴平行，求：(1)荧光屏上光斑的长度；(2)所加磁场范围的最小面积。解析：(1)如图所示，初速度沿x轴正方向的电子，沿弧OB运动到P点，为荧光屏上光斑的最高点，初速度沿y轴正方向的电子，沿弧OC运动到Q点，为荧光屏上光斑的最低点，电子在磁场中，由ev0B＝mv02R得R＝mv0eB，光斑长度PQ＝R＝mv0eB。(2)所加磁场的最小面积是以O′为圆心、R为半径的斜线部分，其面积大小为S＝34πR2＋R2－14πR2＝（π2＋1）20eBmv。答案：(1)mv0eB(2)（π2＋1）20eBmv2[例5].如图所示，质量m＝8.0×10－25kg、电荷量q＝1.6×10－15C的带正电粒子从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内，且在与x方向夹角大于等于30°的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为v0＝2.0×107m/s。现在某一区域内加一垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.1T，若这些粒子穿过磁场后都能射到与y轴平行的荧光屏MN上，并且当把荧光屏MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。求：(π＝3.14)(1)粒子从y轴穿过的范围；(2)荧光屏上光斑的长度；(3)从最高点和最低点打到荧光屏MN上的粒子运动的时间差；(4)画出所加磁场的最小范围(用阴影表示)。【解析】：设粒子在磁场中运动的半径为R，第6页（共21页）由牛顿第二定律，得qv0B＝mv02R，即R＝mv0qB解得R＝0.1m当把荧光屏MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变，说明粒子出射方向平行，且都沿－x方向，所加磁场为圆形，半径为R＝0.1m。(1)如图所示，初速度沿y轴正方向的粒子直接过y轴。速度方向与x轴正方向成30°角的粒子，转过的圆心角∠OO2B为150°，则∠OO2A＝120°粒子从y轴穿过的范围为0～3R，即0～0.17m。(2)初速度沿y轴正方向的粒子，yC＝R由(1)知∠O2OA＝θ＝30°yB＝R＋Rcosθ则荧光屏上光斑的长度l＝yB－yC＝0.09m。(3)粒子运动的周期T＝2πRv0＝2πmqB＝π×10－8s从B点和C点射出的粒子在磁场中运动的时间差t1＝512T－14T＝16T出磁场后，打到荧光屏上的时间差t2＝R2v0从最高点和最低点打到荧光屏MN上的粒子运动的时间差t＝t1＋t2＝7.7×10－9s。(4)如图阴影部分所示。答案：(1)0～0.17m(2)0.09m(3)7.7×10－9s(4)见解析[例6]设在某一平面内有P1、P2两点，由P1点向平面内各个方向发射速率均为v0的电子。请设计一种匀强磁场分布，使得由P1点发出的所有电子都能够汇集到P2点。电子电量为e，质量为m。【解析】：如图所示，过P1点做2个圆，和直线P1P2相切于P1第7页（共21页）点，圆的半径都是R。圆内分布有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于圆平面，由P1点向平面内各个方向发射速率均为v0的电子，电子做匀速圆周运动的半径也是R，即满足R＝mv0Be，则电子离开圆形磁场时速度方向和直线P1P2平行。过P2点做2个圆，和直线P1P2相切于P2点。圆周半径也是R，圆内分布有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于圆平面。电子进入这2个圆形磁场区域后，将汇聚到P2点，其电子运动轨迹如图所示。【典型题目练习】1．如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大量的带正电，电荷量为q，质量为m，速度为v的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（）A．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长D．只要速度满足qBRvm，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上【解析】当v⊥B时，粒子所受洛伦兹力充当向心力，做半径和周期分别为mvRqB、2mTqB的匀速圆周运动；只要速度满足qBRvm时，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上，选项D正确。2．如图所示，长方形abed的长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心Od为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里第8页（共21页）的匀强磁场(边界上无磁场)磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=3×10-7kg、电荷量q=+2×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（）A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边C．从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边D．从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点【解析】由0.3mvRmqB知，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，从Oa入射的粒子，出射点一定在b点；从Od入射的粒子，经过四分之一圆周后到达be，由于边界无磁场，将沿be做匀速直线运动到达b点；选项D正确。3．如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O1（a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E，一质量为m、电荷量为+q（q0）的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x轴方向时，粒子恰好从O1点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力，求：（1）磁感应强度B的大小；（2）粒子离开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角；（3）若将电场方向变为沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁场方向、并与x轴正方向夹角θ=300射入第