图像处理去噪课程设计

全变分去噪算法摘要图像去噪作为图像的预处理阶段，有着十分重要的意义。其目的就是去除图像的干扰信息，保护图像的局部特征，改善图像的质量，为图像的后续处理（如边缘检测，图像分割，特征提取等）提供可靠的保证，在图像处理领域占有非常重要的位置。而基于偏微分方程的图像去噪方法将数学与工程紧密结合，具有较强的自适应能力和灵活性，并且以此建立的模型容易修改，近年来在去除图像噪声和保护图像的边缘细节等信息等方面得到了快速发展。这种基于PDE的图像去噪方法主要源于约束最优化、能量最小化和变分法，其基本思想是以图像去噪的贝叶斯理论模型为基础，将所研究的问题转化为一个可以运用偏微分方程求解的方法求解图像中相应的能量泛函极小值的过程，该极小值形式为一个偏微分方程，对该方程求解，所得到的解就是所要求的去噪复原图像。PDE图像去噪模型应用较为广泛，该模型将图像的梯度模作为边缘检测算子，通过检测图像的平坦区和边缘区的梯度大小而自适应地选取全变分模型和线性扩散模型，将图像边缘检测和图像去噪两个原本独立地两个过程有机地结合起来。本文将着重介绍基于PDE地图像去噪方法和TV算法。非线性偏微分方程去噪算法假设原图像为：u(x,y)可加性噪声为：n(x,y)（En(x)=0,E𝑛2(𝑥)=𝜎2）则噪声图像可表示为：𝑢0(𝑥,𝑦)=𝑢(𝑥,𝑦)+𝑛(𝑥,𝑦)我们希望通过噪声图像得到一个原图像地估计，最小化问题为：minimize∫(𝑢𝑥𝑥+𝑢𝑦𝑦)2𝛺(1)约束条件为：∫𝑢𝛺=∫𝑢0𝛺噪声En(x)=0,E𝑛2(𝑥)=𝜎2导致的约束：1|𝛺|∫(𝑢−𝑢0)2𝛺=𝜎2(2)此处|𝛺|为图像区域Ω的面积(1)式和(2)式就定义了约束最优化问题。（由于TV范数的平移不变性：TV[u+c]=TV[u]，c为任意常数，那么第一个约束实际上是已经满足的。因此，我们只需要考虑第二个拟合约束。通过引入拉格朗日乘子λ，可以定义一个新的能量泛函）新的能量泛函：J[u(x,y)]=∬|∇𝑢(𝑥,𝑦)|𝛺𝑑𝑥𝑑𝑦+𝜆2∬(𝑢(𝑥,𝑦)−𝑢0(𝑥,𝑦))2𝛺𝑑𝑥𝑑𝑦(3)其中，参数λ对平衡去噪与平滑起重要作用。因此，它依赖于噪声水平。这样就建立了图像去噪的TV模型。这是一个泛函求极值问题，即变分问题。偏微分方程（PDE）的推导：TV复原模型的欧拉-拉格朗日方程为：λ(u−𝑢0)−∇∙(∇𝑢|∇𝑢|)=0（5）推到过程如下：根据（1）式可得泛函中的：F=|∇𝑢(𝑥,𝑦)|+𝜆2(𝑢(𝑥,𝑦)−𝑢0(𝑥,𝑦))2=√𝑢𝑥2(𝑥,𝑦)+𝑢𝑦2(𝑥,𝑦)+𝜆2(𝑢(𝑥,𝑦)−𝑢0(𝑥,𝑦))2,(6)此类泛函求极值的必要条件，即欧拉-拉格朗日方程为：𝐹𝐻−𝐹𝑝𝑥−𝐹𝑞𝑦=0其中𝐹𝐻=2(𝑢−𝑢0),𝐹𝑞=𝜆𝑢𝑥|∇𝑢|,𝐹𝑞=𝐹𝑝=𝜆𝑢𝑦|∇𝑢|代入（5）式得：λ(u−𝑢0)−∇∙(∇𝑢|∇𝑢|)=0（7）对于光滑函数u，方程（7）中得微分项表示水平线u=u(𝑥0)得曲率，这就揭示了该模型得几何特性。引用虚拟时间变量t，则有：𝑢𝑡=λ(u−𝑢0)−∇∙(∇𝑢|∇𝑢|),（8）在这里我们选取λ(t)：λ=−12𝜎2∫[√𝑢𝑥2+𝑢𝑦2−((𝑢0)𝑥𝑢𝑥√𝑢𝑥2+𝑢𝑦2+(𝑢0)𝑦𝑢𝑦√𝑢𝑥2+𝑢𝑦2)]𝑑𝑥𝑑𝑦,(9)由于|∇𝑢|为分母，为了避免它为零，我们引入一个大于零得小参数，保证它大于零：|∇𝑢|=√𝜀2+|∇𝑢|2只要ε保持足够小，就不会影响数字TV复原得性能。数值迭代方法如下：我们让：𝑥𝑖=𝑖ℎ,𝑦𝑖=𝑗ℎ,𝑖,𝑗=0,1,2⋯⋯⋯N,并且Nh=1𝑡𝑛=𝑛∆𝑡,𝑛=0,1,⋯⋯⋯⋯,𝑢𝑖𝑗𝑛=𝑢(𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑡𝑛),𝑢𝑖𝑗0=𝑢0(𝑖ℎ,𝑗ℎ)+𝜎𝜑(𝑖ℎ,𝑗ℎ).迭代的初始条件是选定的，φ的均值为零并且二范数为1.迭代公式为：𝑢𝑖𝑗𝑛+1=𝑢𝑖𝑗𝑛+∆𝑡ℎ[∆−𝑥(∆+𝑥𝑢𝑖𝑗𝑛(∆+𝑥𝑢𝑖𝑗𝑛)2+(𝑚(∆+𝑦𝑢𝑖𝑗𝑛,∆−𝑦𝑢𝑖𝑗𝑛)2)12)+∆−𝑦(∆+𝑦𝑢𝑖𝑗𝑛(∆+𝑦𝑢𝑖𝑗𝑛)2+(𝑚(∆+𝑥𝑢𝑖𝑗𝑛,∆−𝑥𝑢𝑖𝑗𝑛)2)12)]−∆𝑡𝜆𝑛(𝑢𝑖𝑗𝑛−𝑢0(𝑖ℎ,𝑗ℎ))(10)其中i,j=1,2,3⋯⋯⋯N边界条件为：𝑢0𝑗𝑛=𝑢1𝑗𝑛,𝑢𝑁𝑗𝑛=𝑢𝑁−1,𝑗𝑛,𝑢𝑖0𝑛=𝑢𝑖𝑁𝑛=𝑢𝑖,𝑁−1𝑛在这里：∆∓𝑥𝑢𝑖𝑗=∓(𝑢𝑖∓1,𝑗−𝑢𝑖𝑗),∆∓𝑦𝑢𝑖𝑗类似m(a,b)=(𝑠𝑔𝑛𝑎+𝑠𝑔𝑛𝑏2)min(|𝑎|,|𝑏|)𝜆𝑛=−ℎ2𝜎2[∑(√(∆+𝑥𝑢𝑖𝑗𝑛)2+∆+𝑦𝑢𝑖𝑗𝑛2−(∆+𝑥𝑢𝑖𝑗0)(∆+𝑥𝑢𝑖𝑗𝑛)√(∆+𝑥𝑢𝑖𝑗𝑛)2+∆+𝑦𝑢𝑖𝑗𝑛2−(∆+𝑦𝑢𝑖𝑗0)(∆+𝑦𝑢𝑖𝑗𝑛)√(∆+𝑥𝑢𝑖𝑗𝑛)2+∆+𝑦𝑢𝑖𝑗𝑛2)𝑖,𝑗],图像质量得比较参数：SNRSNR即信噪比，在这里我们定义信噪比得计算方法如下：SNR=−20lg(‖𝑢−𝑔‖‖𝑢‖)（10）其中u表示噪声图像，g表示复原图像，这里采用上式对SNR进行一个估计。编程实现TV算法，并对复原图像进行性能分析在matlab上编程实现TV复原算法，得到以下结果（γ=20）：噪声图像信噪比：SNR=19.9344复原图像信噪比：SNR=20.0875对比发现，复原噪声信噪比增大，表明图像复原有一定效果，减少了图像中得噪声分量改变噪声得比例后（γ=5）：改变γ值为5时发现，复原图像从视觉上比噪声图像要好，但信噪比相对却减小了。这时因为在对图像进行光滑处理操作时，纠正图像所带来的附加误差反而比原本噪声要大，导致信噪比变大，但图像整体更光滑了。继续调整噪声比例（γ=30）：添加噪声输入比例，发现复原图像得调整效果变好，相比之前，信噪比增大的更多，这表明TV算法对高比例噪声有较好的去除效果，但是当噪声输入较小时，TV算法效果并不是很好。结束语本文对偏微分方程去噪算法进行了推导和matlab仿真实现，介绍了TV算法去噪方法，比较了TV算法应用于不同程度高斯白噪声污染图像时的效果。参考文献：[1].L.Rudin,S.Osher,andE.Fatemi,“Nonlineartotalvariationbasednoiseremovalalgorithms,”PhysicaD:NonlinearPhenomena,vol.60,no.1,pp.259–268,1992.[2].J.Portilla,V.Strela,M.J.Wainwright,andE.P.Simoncelli,Imagedenoisingusingscalemixturesofgaussiansinthewaveletdomain,ImageProcessing,IEEETransactionson,vol.12,pp.1338-1351,2003.[3].Buades,B.Coll,andJ.-M.Morel,Areviewofimagedenoisingalgorithms,withanewone,MultiscaleModeling&Simulation,vol.4,pp.490-530,2005.[4].JiaRQ,ZhaoHQ,ZhaoW.ConvergenceanalysisoftheBregmanmethodforthevariationmodelofimagedenoising[J].AppliedandComputationalHarmonicAnalysis,2009,27(3):367-379.[5].GoldsteinT,OsherS.ThesplitBregmanmethodforL1-regularizedproblems[J].SIAMJournalonImagingSciences,2009,2(2):323-343.