斐波那契数列与黄金分割(最新)

上一页下一页主页返回退出1上一页下一页主页返回退出2斐波那契数列的发明者是意大利的数学家列昂那多·斐波那契（LeonardoFibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨），在1202年研究兔子产崽问题时发现了此数列．设一对大兔子每月生一对小兔子，每对新生兔在出生一个月后又下崽，假若兔子都不死亡．问：一对兔子，一年能繁殖成多少对兔子？（取自斐波那契的《算盘书》（1202年））一、斐波那契数列上一页下一页主页返回退出3题中本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，简称为大兔子；新生的兔子不能生殖，简称为小兔子；小兔子一个月就长成大兔子．求的是大兔子与小兔子的总和．列表考察兔子的逐月繁殖情况月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ大兔对数1123581321345589144小兔对数01123581321345589到十二月时有大兔子144对，小兔子89对，共有兔子144+89=233对上一页下一页主页返回退出4月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ大兔对数1123581321345589144小兔对数01123581321345589从上表看出：①每月小兔对数=上月大兔对数。②每月大兔对数等于上个月大兔对数与小兔对数之和．综合①②两点，我们就有：每月大兔对数等于前两个月大兔对数之和．如果用an表示第n月的大兔对数，则有an=an-1+an-2,n2每月大兔对数an排成数列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，•••此数列称为斐波那契数列．上一页下一页主页返回退出5此数列有下述递推公式：a1=1，a2=1，an=an-1+an-2，n2．斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，•••上述数列中的每一个数称为斐波那契数．这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。用数学归纳法，可推得斐波那契数列的通项公式：,25125151nnan,,3,2,1n上一页下一页主页返回退出6斐波那契数列前一项与后面一项的比的极限：618.0215lim1nnnaa这个数正是有名的黄金分割数．上一页下一页主页返回退出7在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列上一页下一页主页返回退出8将杨辉三角依次下降，成如图所示排列，将同一行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……上一页下一页主页返回退出9数学的各个领域常常奇妙而出乎意料地联系在一起．斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来的，如果它在其它方面没有应用，它就不会有强大的生命．发人深省的是，斐波那契数列确实在许多问题中出现．上一页下一页主页返回退出10自然界中的斐波那契数花瓣数中的斐波那契数大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数．例如，兰花、茉利花、百合花有3个花瓣，毛茛属的植物有5个花瓣，翠雀属植物有8个花瓣，万寿菊属植物有13个花瓣，紫菀属植物有21个花瓣，雏菊属植物有34、55或89个花瓣．上一页下一页主页返回退出11向日葵花盘内葵花子排列的螺线数．上一页下一页主页返回退出12向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是34和55，大向日葵是89和144，还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数．上一页下一页主页返回退出13证券投资的艾略特“波浪理论”1934年美国经济学家艾略特在通过大量资料分析、研究后，发现了股指增减的微妙规律，并提出了颇有影响的“波浪理论”．该理论认为：股指波动的一个完整过程（周期）是由波形图（股指变化的图象）上的8（或5）个波组成，其中5上3下（或3上2下），如图，无论从小波还是从大波波形上看，均如此．注意这儿的2、3、5、8均系斐波那契数列中的数．同时，每次股指的增长幅度常循斐波那契数列中数字规律完成．比如：如果某日股指上升8点，则股指下一次攀升点数为13；若股指回调，其幅度应在5点左右．5、8、13为斐氏数列的相邻三项．上一页下一页主页返回退出14二、黄金分割著名天文学家开普勒说：几何学里有两个宝库，一个是毕达哥拉斯定理，一个是黄金分割．前者可以比作金矿，后者可以比作珍贵的钻石矿．上一页下一页主页返回退出15两千年前，希腊数学家考虑如下问题：设线段AB，ABC在AB上找一点C，使得.CBACACAB令,CBACACABx于是有,111xACCBACCBACx可化为一元二次方程.012xx该方程的根为,2511x.2512x上一页下一页主页返回退出16ABC于是,618.12511xACAB其倒数.618.0215512ABAC即C点约在AB长度的0.618的位置上．希腊数学家把这个几何问题里的点C叫作黄金分割点，这个比值称为黄金分割数．618.0215ABAC上一页下一页主页返回退出17ABC以AB，AC为边作矩形，这个矩形称为黄金矩形．国旗所在的矩形是黄金矩形．上一页下一页主页返回退出18矩形长×宽宽与长之比18×55:8=0.625213×88:13=0.615321×1313:21=0.619434×2121:34=0.618所选的四个矩形的长与宽，它们的比都接近于0.618，即都接近黄金矩形．19世纪中叶，德国心理学家费希纳曾经做过一次试验．他召开一次“矩形展览会”，会上展出了他精心制作的各种矩形，要求参观者投票选择各自认为最美的矩形．结果以下四种矩形入选：上一页下一页主页返回退出19618.01美丽的五角星，五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的．上一页下一页主页返回退出20黄金分割是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割．0.618，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．黄金分割之所以称为“黄金”分割，是比喻这一“分割”如黄金一样珍贵。黄金比，是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的因素之一。认为它表现了恰到好处的“合谐”．上一页下一页主页返回退出21随着人类对自然界（动物、植物、宇宙、人类自身）的认识的日益深入，人类关于“黄金分割比”这一神奇比例的了解也越来越丰富，人们发现自然界中这一神奇比例几乎无所不在。从低等的动植物到高等的人类，从数学到天文现象中，几乎都暗含着这种比例结构。上一页下一页主页返回退出22黄金分割大量地出现在绘画艺术中，并形成了黄金分割学派，其中包括达·芬奇、A.丢勒、G.西雷特等许多画家．15世纪和16世纪早期，几乎所有的绘画大师都试图将绘画中的数学原理与数学和谐和主要目的结合起来．米开朗琪罗、拉斐尔及其他许多艺术家都对数学有浓厚的兴趣，而且力图将数学应用于艺术．上一页下一页主页返回退出23例如，画家波提切利的名作“维纳斯的诞生”女神维纳斯从爱琴海中浮水而出，花神、风神迎送左右的情形．画中也包含了黄金分割．上一页下一页主页返回退出24达·芬奇广泛研究了人类身体的各种比例，右面一张图画的是他对人体的详细研究，而且图中标明了黄金分割的应用。这是一张他为数学家Ｌ·帕西欧里的书《神奇的比例》所作的图解，该书出版于１５０９年。达·芬奇与黄金分割上一页下一页主页返回退出25上一页下一页主页返回退出26画中耶稣位于正中央，双手摊开，两臂与周围的空间形成了一大一小两个倒三角形。上一页下一页主页返回退出27未完成的作品《圣徒杰罗姆》（SaintJerome），该画约作于公元1483年。在作品中，圣徒杰罗姆的像完全位于画上附加的黄金矩形内。上一页下一页主页返回退出28神奇的“黄金分割比”自古至今也出现在许多伟大画家的著名作品中，如米开朗基罗的《圣家庭》（HolyFamily）就是典型的例子，它的人物构图布置中包含着一个“黄金五角星”。上一页下一页主页返回退出29拉斐尔的《刑罚》(Crucifixion)人物布局以“黄金三角形”和“黄金五角星”展开。上一页下一页主页返回退出30人的生命的生物和生理现象中也包含着这个神奇的比例。如：当外界环境温度为人体温度的0.618倍时，人会感到最舒服．人的正常体温是36.5℃，对多数人而言，最感快意的温度是22－23℃，同人的体温之比大约是在0.618左右；医学专家也观察到，当人的脑电波频率下限是8赫兹，而上限是12.9赫兹，上下限的比率接近于0.618时，乃是身心最具快乐欢愉之感的时刻．正常人的心跳在心电图上也显示出T波出现的位置恰好大约是一次心跳节拍的“黄金分割”位置上（如下图所示）．组成人体含量最多的物质是水，成年人体水分占体重的0.618．静脉和毛细血管中含血量约占全血量的0.618，一次最大呼气量占肺部气体总量的0.618．上一页下一页主页返回退出31我们正常血压的舒张压与收缩压的比例关系，我们正常睡眠时间与活动时间的比例关系也都符合这一比例．上一页下一页主页返回退出32可见，黄金比率在人的世界（无论是生物环境还是社会环境）中几乎是无所不在的．最有意味的是，在人的生命程序DNA分子中，也包含着“黄金分割比”．它的每个双螺旋结构中都是由长34个埃与宽21个埃之比组成的，当然34和21是斐波那契系列中的数字，它们的比率为1.6190476，非常接近黄金分割的1.6180339。这是否说明黄金分割律是比DNA中的遗传密码更基本的东西？因为承载DNA的结构——双螺旋结构——也遵循黄金分割律．黄金分割律也许是我们的宇宙的DNA中的遗传密码？上一页下一页主页返回退出33叶子中的黄金分割图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为0.618．上一页下一页主页返回退出34在动物界，形体优美的动物形体，如马，骡、狮、虎、豹、犬等，凡看上去健美的，其身体部分长与宽的比例也大体上接近与黄金分割如：蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0.618。0.618随处可见!上一页下一页主页返回退出35螺线中的秘密上一页下一页主页返回退出36.618.0BCABCDBCDECD上一页下一页主页返回退出37古希腊帕提侬神庙是举世闻名的完美建筑，它的高和宽的比是0.618.建筑师们发现，按这样的比例来设计殿堂，殿堂更加雄伟、美丽；去设计别墅，别墅将更加舒适、美丽．连一扇门窗若设计为黄金矩形都会显得更加协调和令人赏心悦目．上一页下一页主页返回退出38黄金分割在优美的音乐和诗歌中同样可以找到．据说，公元前6世纪，古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras，公元前580-500年)有一天路过一个铁匠铺，被里面清脆悦耳的打铁声吸引住了，驻足细听，凭直觉认定这声音有“秘密”．他走进铺里，仔细测量了铁砧和铁锤的大小，发现它们之间的比例近乎于1∶0.618．后来音乐家们则是有意识地利用这种比例来“美化”其作品．在一些乐曲的创作技法上，将高潮，或者是音程、节奏的转折点安排在全曲的黄金分割点0.618．例如要创作89节的乐曲，其高潮便在55节处．上一页下一页主页返回退出39数学中，“从不同的范畴，不同的途径，得到同一个结果”的情形是屡见不鲜的．这反映了客观世界的多样性和统一性，也反映了数学的统一美．黄金分割点0.618的得到，是一个能说明问题的例子．三、数学的统一美上一页下一页主页返回退出40从不同途径导出黄金比：1．黄金分割：510.6182ABC线段的分割点满足.618.0215ACCBABAC2．斐波那契数列前一项与后面一项的比的极限：618.0215lim1nnnaa上一页下一页主页返回退出413．方程x2+x–1=0的正根：.2154．黄金矩形的宽长之比：.215………………我们看到了数学的统一美．上一页下一页主页返回退出42斐波那契以他的兔子问题，猜中了大自然的奥秘，而斐波那契数列的种种应用，是这个奥秘的不同体现．妙哉，数学！上一页下一页主页返回退出43推广的斐波那契数列:卢卡斯数列卢卡斯（Lucas，F.E.A.1824-1891）构造了一类值得研究的数列，现被称为“推广的斐波那契数列”：从任何两个