斜抛运动的最佳角度的选择1

斜抛运动的最佳角度秦源李子琦邓越叶红玲（北京工业大学100012）摘要：抛体运动是力学研究的一部分，历史上不少学者都贡献过自己的观点和看法，文章通过研究发射体的运动轨迹来讨论在何角度时发射体达到最大射程的问题及其规律。关键词：斜抛方程轨迹角度最大射程1同一水平线上的斜抛运动在斜抛运动中，若抛体的初速度为v,投射角为θ（如图），则物体的运动方程如下所示：221sincosgtvtyvtx（1）消去参数t，得水平射程，可见当投射角为θ=π/4时，物体有最远射程：gvX/2。这时物体达到最大高度gvY4/2，在这种情况下则说斜抛运动的最佳角度为π/4。gvX/sin22不同水平线上的斜抛运动在许多情况下，斜抛物体并不是在同一水平线上，如投掷铅球时，出手点与落地点；或在地面较低的位置向地面较高的位置发射炮弹（如图）。这时，为使抛体达到最远射程，它的最佳角度是否仍是π/4。如果不是，这种情况的最佳角度又如何选择。设抛射点A离落地点的相对高度为h，点B为弹道曲线与A处于同一水平线上的位置（落地点C可能在直线AB的上方或下方，如图）点C为抛体落到地面处的位置，它与O点处于同一水平线上，这时抛体的射程是OC，而不是OB。建立如图所示直角坐标系，设A（0，h），这时抛体运动方程是221)sin()cos(gttvhytvx（2）其中t为时间参数，h是抛射点A离开水平位置OC的相对高度。消去参数t，得抛体的运动轨迹方程是：（3）在方程（3）中令y=0，得gghvvvx22sincos22sin222从而得到落地点C的坐标为：)0,22sincos22sin(222gghvvv为求最佳角度，即求θ为何值时，函数（4）有最大值。为此（4）对θ求导数得：ghvgghvvgvddX2)sin(/)22cos(sin/2cos)(/)(222令0)()(ddX，式中将负项移至右边，然后两边约去因式，)2)sin((sin2ghvv得ghvv2)sin(sincos222解得)(2sin222ghvv（5）根据实际问题，当（5）式成立时，也就是当ghvv22arcsin2时，X（θ）有最大值。下面求，X（θ）的最大值，由（5）式及θ为锐角得ghvghv222sin1cos222xtanxvgy(cos2222gghvvvx2/2sincos2sin)(22h所以ghvghvv222cossin22sin。把上述的值带入（4）式，得最远射程ghvgvX2max2（6）由（5）式与（6）式可以看出，当h=0时，得4/21arcsin，gvX/max2与前面的结果一致。为得到抛出角θ与高度h和速度v的关系，在（5）式中分别对v和h求导，得0)](2[)sin(2/32'ghvghh（7）322/32')(2)](2[2)sin(ghvghghvghv（8）由（7）式知不论h0还是h0，sinθ是h的减函数，即抛射体的最佳角度的选择是随着h的相对增加而减小。下面再讨论最佳角度的选择与速度v之间的关系，根据（8）式知道：（i）当h0时，0)(sin'v，这时sinθ是v的增函数，且有212)(2)sin(22vvghvv，即0θπ/4，所以最佳角度的选择是随着v的增大而增大的，但不超过π/4，其物理意义是：随着速度v的增大，相对高度h已显得不那么重要了，以至当v很大时，有21)(2sin2limlimghvvvv即θ→π/4，这时相对高度h可以忽略不计。（ii）当h0时，0)(sin'v，这时sinθ是v的减函数，且有sinθ√2/2,即0θπ/4，这时最佳角度的选择是随着v的增大而减小的，但不少于π/4，这时的物理意义是，随着速度v的增大，相对高度h已显得不那么重要，以至于当v较大时，有21sinlimv，即θ→π/4。这时相对高度h已经可以忽略不计了（iii）当h=0时，0)(sin'v，即θ为常数，π/4是最佳角度。例子设抛射体的初速度为16m/s，抛射体离地面高度为h=8m，求最佳角度和最远射程。解：由（5）式，555.0)8*10*216*16(216*16sin所以θ=33.7°由（6）式，最远射程为：634.3281021610162maxX结论当h0时，最佳角度的选择是随着v的增大而增大的，但不超过π/4;当h0时，最佳角度的选择是随着v的增大而减小的，但不少于π/4;当h=0时,π/4是最佳角度。参考文献1中国知网2大学物理清华大学出版社2009年张三慧编著3理论力学第七版哈尔滨工业大学理论力学教研室编