河北职业技术师范学院教案编号15

河北科技师范学院教案编号15学年度第学期系（部）数理系教研室数学任课教师课程名称概率统计授课章节：第五章大数定律与中心极限定理第一节大数定律授课班级授课日期课题大数定律时数2教学目的及要求使学生熟练掌握切比雪夫不等式和三个大数定律的应用教学重点切比雪夫不等式和三个大数定律难点对切比雪夫不等式和三个大数定律的应用教法、教具讲授法课堂设计（教学内容、过程、方法、图表等）时间分配（一）回忆随机变量的数学期望和性质（二）新课第一节大数定律一切比雪夫不等式切比雪夫(chebyshev)不等式设随机变量X具有有限的数学期望)(XE和方差)(XD，则对于任意0，恒有2)()(XDXEXP．(5.1)这一不等式叫做切比雪夫不等式．不等式(5.1)也可以写成另一形式2)(1)(XDXEXP，(5.2)或21)()(XDXEXP，(5.3)(5.2)式表明方差可以很好地刻画随机变量X偏离其数学期望)(XE的离散程度．因为根据此式，随机变量X落在区间)(,)(XEXE内的概率不小于2)(1XD．于是，当方差)(XD越小时，2)(1XD越接近于1，从而X的值集中在)(XE附近的可能性越大．作为描述随机变量取值偏离其数学期望的离散程度的一个量是恰当的．二随机变量序列依概率收敛随机现象的统计规律性，只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来．因此研究“大量”随机现象，常常采用极限的形式．随机变量的极限在不同的意义下有不同的定义方法，这里仅给出随机变量序列依概率收敛的定义．定义1如果对任意正数，事件aXn的概率当n时趋于1，即1limnaXn，(5.5)则称随机变量序列nX当n时依概率收敛于a，记作PaXnnlim，或aXPn．这里，随机变量序列nX依概率收敛和微积分中的序列收敛有很大的不同，aXPn意味着概率序列P)(1naXn，即对任意0，当n无限增大时，事件aXn发生的概率无限接近于1．三大数定律在大量随机现象中，人们不仅发现随机事件频率的稳定性，而且发现大量随机现象平均结果的稳定性．概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理，称为大数定律．1切比雪夫大数定律定理1(切比雪夫大数定律)设随机变量,,,21nXXX相互独立，分别有数学期望)(iXE和方差)(iXD，且cXDi)((常数,2,1,0ic)，则niiPniiXEnXn11)(11，即对于任意0，恒有1)(11lim11niiniinXEnXnP．(5.6)推论设随机变量,,,21nXXX相互独立，且服从同一分布，具有数学期望及方差2，则niiXn11，即对任意0，恒有11lim1niinXnP。2伯努利大数定律定理2(伯努利大数定律)设An是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则pnnPA，即对于任意0，恒有1limpnnPAn．伯努利大数定律表明事件A发生的频率nnA依概率收敛于p，从而以严格的数学形式表达了频率的稳定性，即当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小．故在实际应用中，当试验次数很大时，便可用事件发生的频率作为事件发生的概率．证明设随机变量),,,2,1(niXi表示第i次试验中事件A发生的次数，显然有niiAXn1，且这些随机变量相互独立服从相同的“0－1”分布qpXPpXPii10,1．由第四章知，它们的数学期望及方差分别是),,,2,1()(,)(nipqXDpXEii．于是，按切比雪夫大数定律的推论即得11lim1pXnPniin．即1limpnnPAn．3辛钦大数定律定理3(辛钦Khinchine大数定律)设,,,21nXXX是相互独立的随机变量序列，它们服从相同的分布，且具有有限的数学期望,2,1),(iXEai，则对任意的0，有11lim1aXnPniin．(5.9)证明略．此定理只要求随机变量的数学期望存在而不必考虑方差，所以比切比雪夫大数定律的适用性广泛．此定理只要会应用其结论即可．例1投掷一枚均匀的硬币，问：至少需掷多少次才能保证正面出现的频率在0.4~0.6之间的概率不小于0.9？解设需要掷n次，X表示投掷n次中出现正面的次数，由题意得)5.0,(~nBX，nXE5.0)(，nXD25.0)(．nXnPnXP6.04.06.04.0,25101.0411.0)(11.0)(22nnnnXDnXEXP要使9.06.04.0nXP，只需9.0251n，解得250n．作业参考文献作业参考文献同上课后小结教研室主任（签字）：