新课程背景下的有效课堂

新课程背景下的有效课堂——如何在函数教学中渗透数学文化湖州二中刘薇各位老师，大家好！很荣幸第一次参加校青年教师论坛，今天我发言的内容是：如何在函数教学中渗透数学文化？“数学文化”概念的提出，是近几年来数学课程改革的重要标志之一．《普通高中数学课程标准(实验)解读》中关于“数学文化的内涵”给出了如下表述：“在数学的起源、发展、完善和应用的过程中体现出的对于人类发展具有重大影响的方面．它既包括对人的观念、思想和思维方式的一种潜移默化的作用……也包括在人类认识和发展数学的过程中体现出来的探索和进取的精神和所达到的崇高境界等等”．对“数学文化”的强调是新一轮数学课程改革，特别是高中数学课程改革的一个重要特点．著名数学家丁石孙教授指出：“我们长期以来不仅没有认识到数学文化的教育功能，甚至不了解数学是一种文化……这种状况在相当程度上影响了数学研究和数学教学．”大家可以看看课改前的数学教育特点：(1)传递知识是教育的主要目的；(2)提高成绩是教师的最大职责；(3)追求高分是学生的唯一任务；而《普通高中数学课程标准》中明确指出：“数学是人类文化的重要组成部分．数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观．”新课标要求将数学文化与高中数学内容有机地结合起来，使学生在学习数学的过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位．这就要求教师对教学内容进行微观分析，将数学文化渗透到数学教学．借本次论坛，我就“函数教学”这一内容所渗透的文化现象作一些新的探讨，使学生在学习函数的过程中得到“宏观——文化熏陶”和“微观——兴趣提升”，下面谈谈自己的一些做法和体会．函数是高中数学的“脊梁”，学好函数意味着高中数学良好的开端．但函数形式抽象、性质较多、纷繁复杂，往往又让很多学生对其既爱又恨．我想若能够让函数教学与“数学文化”联系起来，则会使学生更有兴趣的投入到数学学习中去，符合新课标教学的理念．1弘扬数学文化，追寻数学的历史踪迹数学文化是丰富多彩的，它受到人类文明的各种影响．为了帮助学生体会数学的文化价值，除了开设“数学史选讲”等专题的选修课外，在日常的数学教学中，教师还要注意联系相关的数学内容，适当揭示数学知识产生和发展过程，数学方法的形成与运用过程，适当地介绍数学家的故事，数学发展的重大事件，让学生体会人们认识数学的曲折过程，认识科学家对数学发展的贡献．案例1深度理解函数的概念现在共认的函数概念是由德国数学家莱布尼兹给出的．1673年，他在一片手稿里首先引入“函数”，用“”来表示函数，并用它表示曲线上的点的横坐标，纵坐标，切线的长度，垂线的长度等，即所有与曲线上的点有关的量．也就是说，莱布尼兹把函数看作是一个几何量，是随着曲线上的点的变动而变动的量．由此可见，函数概念引入初期，人们对他的认识还相当肤浅．为了适应和推动数学的发展，人们对它进行了一次又一次的扩展，使函数概念逐渐的的完整起来．例如：(1)可以画出函数图象；(2)根本画不出图象是不是函数呢？就从刚进入高中的学生认识水平来看，可能就得不出函数的结论．但这两种函数在数学史上是“有名的函数”．(1)参与了“真函数”与“假函数”的讨论：当时人们只将有一个解析式的称为“真函数”，反之称为“假函数”．其实已经看到“假函数”也是函数的一种，只是从当时的函数定义来看，还不是“函数”．很快的随着函数定义的扩充，这一类“假函数”也成为函数的一员，没有人再对它的身份产生怀疑了．(2)根本就画不出函数的图象．直到19世纪末德国数学家康托的集合论诞生了，映射引入时，人们才真正地把握函数的概念，并非每个函数都具备图像，才使得今天的函数定义涵盖了更大的范围．这个定义就是今天教材中的函数概念，它的形成经历了许多年的争论才达成共识，引入的两个例子正是历史上著名的两个函数；(3)是利用电脑软件随机画出的一条曲线，但是很难写出函数的解析式，通过图像容易理解并非每个函数都可以写出解析式．学生的函数学习应该是学生个体的主动建构的过程，每个学生都是从自己的认识基础出发依自己的思维方式理解函数的．从这个意义看，函数教学要依靠学生的主动参与才能教学相长，建构主义应该是教学设计的理论依据．而向学生介绍数学史上讨论的全过程，就可以将人类的思考过程再现在学生面前，数学概念的形成就象是学生自己建构的一样，从而能更深刻的理解函数概念．2了解数学的魅力，认识事物发展的规律数学文化与某些概念教学有机的结合，是有利于学生认识概念的外延和理解概念的内涵，符合从感性认知到理性理解的事物认知规律．案例2通过数学文化渗透奇偶函数概念的教学奇函数和偶函数是出现在教材中最早的关于中心对称和轴对称的特例．人教A版(2007年1月第2版)第33~35页对奇偶函数的定义：一般地，如果对于函数ƒ(χ)的定义域内任意一个χ，都有ƒ(-χ)=ƒ(χ)，那么函数ƒ(χ)就叫做偶函数；如果对于函数ƒ(χ)的定义域内任意一个ƒ(χ)，都有ƒ(-χ)=-ƒ(χ)，那么函数ƒ(χ)就叫做奇函数．对奇偶函数的教学，因其定义的抽象性，使教学中学生对定义的理解具有一定的难度．其实，在定义函数奇偶性之前，利用函数图像，结合数学文化的相关知识，学生不仅容易理解较为抽象的奇偶函数概念，还能通过其文化内涵提升学习函数的兴趣．(多媒体展示图5~图6)(借以文化的符号类比函数图像)高中数学初等函数是每个高中生必学的函数之一，其重要性不言而喻，紧紧抓住x0时的函数图像和性质，为掌握整个函数提供了“对称”基础，进而还可引导学生进行一类探究活动：如何探究？又与呢？由点及面的学习往往是事半功倍的．通过直观图像结合渗透数学文化，不仅可以使学生感知奇偶性概念的外延，更可以认识到抽象性质的内涵和学习数形结合的数学思想，寓数学文化于其内，给“冰冷的”数学知识，营造出“春暖花开”的气候．3通过研究性学习，从“做”中加深对数学的价值认识案例3三次函数图像的研究性学习近年来，随着导数加入到高中数学，三次函数所引发的高考试题也是随之而来，如09年浙江理22；08年全国卷一19；07年福建文20等等．教材中并没有给三次函数图像或专门定性分析，这就对数学教师以更高的要求——平时应该以研究性课题的形式来学习、来介绍，并在探究中渗透中心对称的美育功能．三次函数通过其系数的变化而不断演变，如图7，图像关于点呈中心对称，与自然现象中的“闪电”是多么相似啊！观测其函数图像，是多具备中心对称的美感！学习中不妨起名为“闪电”函数，既形象又直观，让枯燥的教学从而乐趣翩翩！我曾经尝试，通过学习函数，并给函数起“文化艺名”，使学生激发对函数的学习兴趣，收到了很好的效果．下面例举学生所创设的“曲线艺名”几例(图8~图10)：图7.三次函数的演变一学生利用分段函数给出了“LN”曲线，极富想象力！学生通过各种令人惊叹的文化创意，不仅在函数(或曲线)图像中渗透了文化，图像不仅直观形象地表示出函数值随着自变量的变化而变化的趋势，而且图像法表示函数具有美学的意义，更重要的是体现了数形结合的数学思想和一定的创新能力．4通过课堂例题教学，让学生体会数学的文化价值例题是数学教材的重要组成部分，数学例题教学应达到知识功能与教育功能．“知识功能”指的是通过例题教学使学生获得系统的数学基础知识，形成必要的技能；“教育功能”指的是对学生文化素质的培养，当然也包含了培养学生的思维品质．新教材通过例题，不失时机地向学生渗透数学的文化价值．案例4几类不同增长的函数模型——人教A版第112页例1、例2例1某人有一笔钱，想用于投资，现有三种投资方案供他选择，这三种方案的回报如下：请大家帮他选择一种投资方案？方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番；例2(接例1)经过科学的选择和不懈的努力，投资终于给他带来了爆炸式的回报，现在该人拥有了自己的公司，为了实现1000万元利润的目标，他继续邀请你为他选择一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：，问：其中哪个模型能符合他的要求？问题解决之后，我们可以想如何通过这两例来加强对增长的函数模型的深刻认识呢？注重例题的延伸：通过马尔萨斯的人口增长模型(logistic模型)以及我国实际人口数据对比，让学生体会到“如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力”，让学生得到国情的教育，体会到数学在实际生活中的应用，激发学生学习的兴趣．对待例题，我们充分发挥其典型性和示范性，又要注意例题可探究的特点，使其真正达到既落实双基，又培养能力的效果．最后，布置一些探究性的课外作业，以多人自由合作的模式来探究一些生活中的不同增长函数模型．下面仅举几例学生探究成果以供参考：(1)世界卫生组织宣布，正式确认冠状病毒的一个变种是引起非典型肺炎的病原体．科学家们说，变种冠状病毒与流感病毒有亲缘关系，但它非常独特，以前从未在人类身上发现，科学家将其命名为“SARS病毒”(SARS是“非典”学名的英文缩写)．(logistic函数增长模型)(2)澳洲野兔繁殖模型．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．(3)摩尔定律：集成电路芯片上所集成的电路的数目，每隔18个月就翻一番．摩尔定律是指IC上可容纳的晶体管数目，约每隔18个月便会增加一倍，性能也将提升一倍．摩尔定律是由英特尔名誉董事长戈登·摩尔经过长期观察发现．(4)“蓝藻”是一种最原始的单细胞藻类植物，一般呈蓝绿色，少数呈红色，主要分布在淡水中．有不少“蓝藻”直接固定大气中的氮，可以提高土壤肥力，使作物增产；但在一些营养丰富的水体中，有些“蓝藻”经常在夏季大量繁殖，造成水体缺氧、腐臭．“蓝藻”死亡后会产生毒素，污染饮用水．专家介绍，这次太湖“蓝藻”爆发，主要是由于降雨偏少弱化了水体本身的净化能力，致使水质进一步恶化，所以加剧了蓝藻的灾情．(5)德国心理学家艾宾浩斯(HermannEbbinghaos,1850-1909)研究发现了记忆遗忘规律，见下表：根据提供的数据，画出散点图如图所示．由图可知，这曲线和y=ae-x接近．它告诉人们在学习中遗忘是有规律的，遗忘的进程不是均衡的，而是在记忆的最初阶段遗忘的速度很快的，后来就逐渐减慢，过了相当长的时间后，几乎不再遗忘，这就是遗忘的发展规律，即“先快后慢”的原则．观察这条曲线，你会发现，学得的知识在一天后，如不抓紧复习，就只剩下原来的三分之一．因此，艾宾浩斯实验向我们证实了一个道理：学习要勤于复习，而且记忆的理解效果越好，遗忘越慢．课堂上不能将这些史料一一向学生和盘托出，否则就会冲淡教学课堂的主题．这就需要我们结合教学内容多角度地分析，并创造条件，给学生以空间，使学生既能理解数学知识、获得数学素养，又能主动感受到数学在人类文化发展中的作用和价值．5结束语最后，我想说：在应试教育的背景下，虽然数学文化完全融入普遍的教育现实尚有一定难度，尚需一段时间．但是，在大力提倡素质教育的今天，数学文化教育作为数学教育改革的方向和新的教育精神应是无可争议的．“数学课程标准”中大力提倡数学文化教育的事实已经充分地说明了这一点．世界著名数学大师、菲尔茨奖获得者丘成桐说：“目前中国的基础教育有弱化趋势，过分追求枝节和技巧，而忽视了基础的培养．我提倡现在学生不要局限于一个发展领域，多读点文史知识有助于开拓眼界．”数学是人创造的，必然会打上社会的烙印．让我们在形式化的数学背后，挖掘出更多的生动活泼的文化元素、激情碰撞的思维火花、朴素