浅析2005年高考数学试题

1浅析2005年高考数学试题株洲市二中邓秋和一、背景与基本情况1、2005年全国各省（市）首次全部使用新课程卷，全国实施自主命题的省份已由2004年的11个增加至14个，教育部考试中心和各单独命题省（市）共命制16套数学高考试卷。2、2005年的高考《考试大纲》取消了数学科的题型数量分布及分值的限制，由各单独命题省（市）在保持连续．．、稳定．．的基础上，各自制定各题型数量及分值。3、重新界定能力要求，调整了部分考查内容的要求，对“数学基础知识”、“数学思想方法”、“数学能力”、“实践能力”、“创新意识”、分别细化了命题原则。特别对高考考查“运算能力”从理论到实践作了较为细致的说明。4、2004年数学高考各单独命题省（市）虽不乏有背景新、构思巧且不落俗套的好题型，但整体来看，普遍认为成题或成题的影子太多。无论是命题专家还是前沿教师都认为，高考试题编制必须创新，所以教育部考试中心在试题评价报告中明确：2005年命题必须有“好的区分度指标”的同时，重新强化“创设开放情境，强化探究能力”等较高层次的命题要求。二、试卷总体情况1、试卷结构（下面出现的算式表示“选择题数+填空题数+解答题数）所有16套试卷都是由选择题，填空题解答题三部分组成，但某些省（市）考卷的三部分比例较往年有所变化，如重庆、天津为10+6+6；湖南为10+5+6；浙江、广东为10+4+6。而上海为4+12+6；北京为8+6+6，由于上海、北京是高考单独命题最早省（市），所以我们有充分理由预测，在保持稳定、连续的前提下，三部分比例会沿着减少选择题即客观试题数量，而增加填空题、解答题即主观试题数量的趋势变化。2、难度分析由于2004年的数学高考试卷总体难度较小（尤其是大多数省市单独命制的2试卷），据悉有的省市难度系数达到0.65~0.7，与考试中心提出的0.55差距甚大。因此，2005年大多数省市增加了加大“区分度指标”的试题，与考试中心提出的总体难度系数为0.55有所接近，大多数单独命制试题的省市创新意识强，出现很多背景新、构思巧的好题。但也有部分省市卷的社会评价不很高，这主要表现为：第一，单纯考查知识的试题多，而突出考查能力的试题少；第二，课本与复习资料上常见题目数量多，创新性强的试题少；第三，个别省市试卷的总体难度系数还是略高。相反，另有个别省市试卷的压轴题数学竞赛题色彩太浓。3、知识点分析下面是对全国卷和各单独命题省市卷（计16套，30份），所涉知识点考查的题量和题型模式统计，多数考题涉及多个知识点交汇，如某题出现多个知识点交汇，则该题计入侧重考查的知识点，选择题和填空题一般无重复计数，少数解答题有重复计数情况。知识点选择题填空题解答题共计主要模式1、集合与简易逻辑1920211、韦恩图；2、集合运算3、充要条件；4、真假命题判断；5、对集合定义新运算（信息题）；6、四种命题。2、函数1：（包括导数，但不包括三角函数）401826841、定义域、值域、最值、奇偶性、单调性、周期性、反函数，利用单调性质解不等式；2、图象、数形结合；3、用导数讨论单调性，求最值、求切线，证不等式，分类讨论求参数范围（值）；4、求函数极限；5、函数应用问题；6、具高等数学背景（如北京、湖南）；7、函数、数列、不等式综合。3、函数2：（三角函数）241114491、基本公式、和差、倍角公式应用，主要侧重变式、变角思想、正、余弦定理；2、三角形中的三角函数变换，正、余弦定理应用；3、化归为y=Asin（ωx+φ），考查图象变换，性质（值域、单调性、奇偶性、周期、对称性）；4、化归为y=f(sinx)等4、平面向量1060161、除浙江卷T10外，其余皆为基础容易题；2、侧重考查平面向量的选择、填空题，其中要特别注意与平凡知识的联系。35、不等式10113241、选择、填空题以性质应用、均值不等式、解不等式为多见；2、解答题与函数、解析如何、数列综合为主。6、数列14618381、选择、填空题以考察等差（比）数列公式、灵活应用性质以及求通项、求前几项和的常见方法为多见；2、解答题以与函数、不等式、归纳法、解析几何综合为主，且探究题型频频出现。7、直线和圆84012通过直线和圆的位置关系求直线方程或圆方程，倾斜角、斜率。由于导函数引入，增加了切线等问题。8、圆锥曲线19716421、选择、填空题以求圆锥曲线方程和性质、参数、定义应用为多见；2、解答题仍以直线和圆锥曲线关系为载体，以向量为入口或作结论，求参数范围、最值、轨迹方程为多见；切线、导数介入应引起注意。9、线性规划3306课本习题水平10、立体几何221016481、选择题、填空题涉及题型广、如位置关系判定和性质，各种距离、角、体积、轨迹等。；2、解答题仍是计算加证明，证明主要是垂直关系，有平行问题但不多见，计算主要考查化归到一个三角形中计算；3、空间向量引入，使立几问题演绎难度降低，解探究开放式问题路子更阔。11、排列、组合65011以数字问题，分配（选派）问题球盒问题，不归位问题（一般可用树形图解）几何图形个数，着色问题，排队问题为多见；问题为中等难度，一般都是受限问题。12、二项式定理590141、利用通项求系数，参量、指数n等；2、用赋值法求系数的关系，一般为容易题。13、概率统计91014331、独立事件，互斥事件，等可能事件，分布列、期望；2、难度不大，灵活性强，背景丰富，注意应用，分值比例高。14、复数142016以乘除法为多见，特别是乘方问题，利用复数相等解题，一般为容易题。4由上面的统计可以得出，2005年数学卷从知识点上看，有两大特点：第一，主干内容重点考，不刻意追求知识的覆盖率，重点知识重点考，把握体系，突出重点，以重点知识构建试题的主体。如：函数、数列、不等式、三角函数，立几中线面关系，解几中直线和圆锥曲线，新增内容的概率统计、导数，都是各省市卷的主体内容；第二，新增知识加大考，以新带旧，注重新旧知识的综合。三、题组分析2005年，除个别省（市）外，绝大多数单独命题的省（市）数学卷都是设计了六道解答题，其中考查三角函数、解析几何、概率统计、立体几何四块知识的四道大题，从考查的知识内容上看相对独立，另两道大题考查的内容不外乎是：函数与不等式、函数与数列、数列与不等式这几方面的知识。1、三角函数题组对于三角函数的解答题，主要出现以下三个考察方向：1）化归为f（x）=Asin（ωx+φ）研讨其周期性、奇偶性、单调区间、对称轴、中心对称。全国I，T17：解函数f（x）=sin（2ωx+φ）（-π＜φ＜o），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=8π，Ⅰ）求φ，Ⅱ）证明5x-2y+c=0与y=f（x）图象不相切。重庆T17，若f（x）=x)2π4sin(cos2x1-asin2xcos(π-2x)的最大值为2，试求a的值。江西T18，已知向量a=（2cos2x，tan（2x+4π）），b=(2sin(2x+4π)，tan（2x-4π）)，令f（x）=a·b，是否存在实数x∈[0，π]，使f（x）+f＇(x）=0，若存在，求x的值，若不存在，则证明之这些试题大多数比较传统，中等成绩以上的学生可以做出，但值得注意的是全国和江西试题均与导数、切线有所联系，这值得我们在备考时加以充分注意。2）考查三角形中的三角函数或与解三角形（正、余弦定理）结合起来，如：→全国Ⅲ，T19、天津T17、湖北T18、湖南T16，这些试题的一个共同特点就是将三角恒等变形与相关的数学思想方法相结合，主要是方程的思想与换元法，体现5以知识为载体，以思想方法为核心，以能力素质为目的的命题指导思想，下面以湖南T16，全国ⅢT19为例来证明这个思想。湖南T16：已知在△ABC中，sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求角A、B、C的大小。解：由sinA（sinB+cosB）-sinC=0得sinAsinB+sinAcosB-sin（A+B）=0所以：sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0即：sinB（sinA-cosA）=0由此不难求得A=4π，B+C=43π，（余略）这里用到了和角的正弦公式，但公式的应用在解题过程中只起基础作用，而起关键作用的应是方程的消元的思想，整体代换（即换元）的方法，如果不能看出sinC=sin（A+B）和可消去C及sinAcosB的可行性，作出此题还是有一定的困难。全国ⅢT19，△ABC中，a，b，c成等比数列，且cosB=43。Ⅰ）求cotA+cotC的值Ⅱ）设BA·BC=23，求a+c的值这里的第Ⅱ）问：由条件：cosB=43，b2=ac，联系余弦定理b2=a2+c2-2acosB，考生必须具有方程消元（此处消b）的思想，从而可整体求a+c，而不必分别求a和c，因此，我们说方程思想和整体代换（换元法）是解决此类问题的关键。3）已知三角函数值，求所给解析式的值或有关角，此类问题考查三角公式的记忆与熟练使用。我们认为，三角函数备考应立足于：①给值（或）角求值（角），主要是三角变换公式的熟练应用。②化归为y=Asin（ωx+φ）（或f（x）=g(sinx)等）再讨论其性质，图象特征与变换，但是对于与三角函数有关的实际函数应用模型，与导数、切线结合问题也应引起高度重视。2、立体几何题组6在立体几何中引入空间向量后，很多问题都可以用向量的方法解决，由于应用空间向量的方法，可以通过建立空间坐标系，将几何元素之间的关系数量化，进而通过计算解决求解、证明的问题，空间向量更显现出解题的优势。近两年，立体几何解答题的命制采用了“一题两法”的模式，2005年全国16套数学卷也不例外。但2005年的天津卷、辽宁卷、广东卷的立体几何解答题，如果用空间向量的方法去解比用传统能演绎几何的方法解要困难得多。因此，我们在看到空间向量解立几问题的优越性的同时，不能放松对传统方法解题的训练，平时的教学争取做到一题两法。由于以解答题的形式考查立几问题，其试题结构比较常规，所以对这一题组，我们就不加分析了。3、解析几何题组由于解析几何增加了平面向量的内容，所以，可以以向量及其有关运算为工具，来研究解析几何中的有关问题，这样就给高考中解析试题的命制开拓了新思路，为实现在知识网络的交汇处设计试题提供了良好的素材。解析几何对运算能力有较高的要求，曲线的定义和性质是解题的基础。利用曲线性质和图形性质简化计算或将某一个“因式”作为一个整体处理，这其中体现的就是“模块”的思想，也就是换元法。解析几何突出考查方程与函数、数形结合、特殊与一般的思想。全国16套数学卷的解析几何解答题主要模式为：a）求曲线的参量（如离心率）或参数的范围（包括等式、不等式）；b）最值问题；c）轨迹问题；d）直线过定点或重合问题（如两三角形重心重合）；e）存在性问题。但无论哪一种模式，都离不开应用曲线性质和平面图形的几何性质和“整体”思想、简化运算。山东卷T22：已知动圆过定点（2P，0），且与直线x=-2P相切，其中p＞0。Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程。Ⅱ）设A、B是轨迹C上异于原点0的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α和β变化且α+β为定值θ（0＜θ＜π）时，证明直线AB恒过定点，并求出该点的坐标。本题第Ⅰ）问必须利用圆的切线的性质，│MN│=│YXNFOM7MF│（右图示），从而由抛物线定义知M轨迹方程：y2=2px（p＞0）。第Ⅱ）问，设A（x1y1）、B（x2y2），首先必须分析AB是否能平行于y轴，根据条件，可以判定AB不平行y轴，因此可设AB方程为y=kx+b，这里就是要研究平面图形的几何性质，才能得出k的存在。要证明AB恒过定点，必须建立k，b与θ的关系，由条件θ=α+β∴当θ≠2时，tanθ=tantan1tantan=212122111xxyyxyxy=212122122yyppypyp=221214)(2pyyyyp而y1+y2，y1y2可以通过联解y2=2pxy1+y2=kp2y=kx+by1y2=kpb2由此b=tan2p+2pk∴AB方程：y=