校本教材阶梯式学习法系列教案佘维平邹太云

1北大附中云南实验学校校本教学资源阶梯式学习法课程教案（初中―高中）数学第二课堂辅导系列编写：佘维平邹太云2007..6.2阶梯式学习法精品课程数学教案·初中部分北大附中云南实验学校邹太云二○○七年六月二十七日教案编写说明：○1本教案针对初中数学教学过程中、以及各地中考试题中涉及到的重点和热点问题，分五个专题做了比较深入的分析和阐述，即：第一讲数与式；第二讲函数、方程、不等式；第三讲图形的运动与变换；第四讲开放与探究；第五讲概率与统计。○2在教案编写上，按照“点击新课标—解题策略—典例解析—课后精练”的模式进行。○3在例题的选择上，除部分自编题外，其余大都选自近三年全国各地的中考试题。○4在解题思路的分析中，从寻求解决问题的“思维启动点”切入，以期达到锤炼学生数学思维品质的目的。○5注意到初、高中学生思维品质的差异，所以选题时在寻求初、高中学生思维的最佳契合点上下了不少功夫。○6在“课后精练”中，注明了该题适合的学段。第一讲数与式一、点击新课标“数”是指实数的概念和运算，“式”是指整式、分式和根式。这些内容是初中阶段“代数”的基础内容，也是新课程标准要求的基础内容。虽然新课程标准克服了过去对繁难偏旧运算的考查，但对新情境下数与式的知识与方法的灵活运用的新题型考查逐步增多。二、解题策略学习本部分知识时，要努力做到概念请，方法多，技能强。运用的数学思想方法主要有代入法、消元法、换元法、分类讨论法、数形结合法等等。三、典例解析3．1常规方法透视【例1】（2005浙江台州初二、初三）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：S=14[a2b2－(a2＋b2－c22)2]……①（其中a,b,c为三角形的三边长，S为面积）。而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：S=p(p－a)(p－b)(p－c)……②（其中p=a＋b＋c2）（1）若已知三角形的三边长分别为5、7、8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S；3（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试。【导析】本题以求三角形面积为线索，将我国古代数学家秦九韶的“三斜求积术”和古希腊求三角形面积的海伦公式整合在一起，先让学生分别运用，再让学生由公式①推导出公式②，这样的命题形式，不论是题目立意、情景创设，还是设问角度都非常新颖。但从考查的知识点来看，却是考查的初中阶段常规的数与式的运算能力，即乘法公式、因式分解、二次根式的运算等多个知识点。【思维启动点】由p=a＋b＋c2可得：a＋b=2p－c，a＋c=2p－b，b＋c=2p－a，使用整体代入法。解：（1）S=14×[52×72－(52＋72－822)2]=1252×(72－12)=5248=103.又p=12×(5＋7＋8)=10,S=10(10－5)(10－7)(10－8)=10×5×3×2=103.（2）14[a2b2－(a2＋b2－c22)2]=14(ab＋a2＋b2－c22)(ab－a2＋b2－c22)=116[c2－(a－b)2]·[(a＋b)2－c2]=116(c＋a－b)(c－a＋b)(a＋b＋c)(a＋b－c)=116(2p－2b)(2p－2a)·2p·(2p－2c)=p(p－a)(p－b)(p－c),∴14[a2b2－(a2＋b2－c22)2]=p(p－a)(p－b)(p－c)【反思提炼】在上述解答过程中，不仅考查了学生的数与式的运算能力，而且还拓展了学生的知识范围。此外，引例将相关的数学知识放在一起，可以让学生体会数学知识之间的有机联系。提供数学史和我国古代数学家的研究成果的素材，既可以培养学生热爱数学的情感，又能增强学生的民族自豪感，做到了寓教于考之中。3．2特例特法点击关于数与式的运算，除须掌握常规方法外，还须留意特例特法，现举几例说明。1、反客为主，答案就“在灯火阑珊处”。【例2】（初三）已知2x=3－13，求（x＋x2＋1）2的值。〖考查内容〗：代数式求值，一元二次方程。〖思维启动点〗本题若直接代入求值，十分繁琐。若“反客为主”，即将已知条件转化为以3为主元的方程，答案唾手可得。解：将已知转化为（3）2－2x·3－1=0,解这个以3为“未知数”的方程，得3=x±x2＋1，舍去负值，得3=x＋x2＋1，∴（x＋x2＋1）2=3.〖反思提炼〗：这种解法抓住了数与式的特点，通过“反客为主”这种角色变换，利用方程思想使问题4得到解决，睿智之举，十分了得。2、关注附加条件，增强解题免疫力。【例3】（初二、初三）已知a,b,c为非零实数，且满足b＋ca=a＋cb=a＋bc=k，则一次函数y=kx＋(k＋1)的图象一定经过（）A、第一、二、三象限B、第二、四象限C、第一象限D、第二象限〖考查内容〗等比性质和一次函数的图象，以及分类讨论的数学思想方法。〖思维启动点〗一次函数y=kx＋(k＋1)中的待定系数k隐含在一个等比的比值中，比值k如何确定？尽管题中告知a,b,c均为非零实数，但仍存在a＋b＋c=0或a＋b＋c≠0两种情况。只有后者才满足等比性质的附加条件，切记！切记！解：当a＋b＋c=0时，k=b＋ca=－aa=－1，这时一次函数的表达式为y=－x，它的图象在第二、四象限。当a＋b＋c≠0时，由等比性质，得k=(b＋c)＋(a＋b)＋(a＋c)a＋b＋c=2，这时一次函数的表达式为y=2x＋3，它的图象在第一、二、三象限。以上两种情况的公共部分是图象都经过第二象限，所以应选（D）。〖反思提炼〗在解答该问题时，常因思维不缜密，容易忽略掉a＋b＋c=0的情况，造成错选（A）。可见，关注定义、定理、公式等的附加条件，可以增强解题的免疫力。3、“数与形，焉能分作两边飞？”【例4】（初三）实数m取何值时，方程x2－2mx＋m＋1=0的一个根大于5，而另一个根小于5？〖考查内容〗一元一次不等式，一元二次方程以及二次函数，以及它们之间的相互关系。〖思维启动点〗方程左式可以看成函数f(x)=x2－2mx＋m＋1借助于二次函数的性质，问题迎刃而解。.解析：如图1，由题意得f(5)＜0，并由此解得m的取值范围：m＞269.〖反思提炼〗讨论数量关系，就应联想到图形的表现，研究形体特征，也应当联想到数量的表述，数与形是互相转化，互相渗透，相辅相成的。正如数学家华罗庚有词曰：“数与形，本是两倚依，焉能分作两边飞？”四、归纳总结。本课通过四道例题的学习，阐述了在数与式相关问题的解决过程中，数学思想的应用和一些常规方法与特殊方法的应用，对于培养学生多方面能力、“锤炼”学生的思维品质很有裨益。五、课后精炼，能力提升。1、（初三）已知a2＋3a－1=0,b2＋3b－1=0,且a≠b，求ba＋ab的值。2、（初三）若abc≠0，且b＋ca=a＋cb=a＋bc，求(a＋b)(b＋c)(a＋c)abc的值。3、（初三）方程2x－x2=2x的正根个数为（）xyo5图15A、0个B、1个C、2个D、3个4、（2005.兰州.初一）已知实数x满足x2＋1x2＋x＋1x=0，那么x＋1x的值是（）A、1或－2B、－1或2C、1D、－25、（2005.绍兴.初二）已知P=x2x－y－y2x－y,Q=(x＋y)2－2y(x＋y)。小敏、小聪两人在x=2，y=－1的条件下分别计算了P和Q的值，小敏说P的值比Q大，小聪说Q的值比P大。请你判断谁的结论正确，并说明理由。6、（2005.资阳.初三）已知a=sin60°，b=cos45°,c=(12)－1,d=11＋2.从a、b、c、d这4个数中任意选取3个数求和。参考答案：1、由方程根的意义可知，a、b是方程x2＋3x－1=0的两个根。由根与系数的关系可得：a＋b=－3，ab=－1∴ba＋ab=(a＋b)2－2abab=(－3)2＋2－1=－112、8或－13、分别画出函数y=2x－x2，y=2x的图象（如图2），它们的交点为0个。4、D。注意陷井：x＋1x≠1，否则就不满足x为实数这个条件。5、P＜Q。小聪的结论正确，理由略。6、a＋b＋c=3＋2＋42a＋b＋d=3＋32－22a＋c＋d=3＋22＋22b＋c＋d=32＋22.第二讲函数、方程、不等式函数、方程、不等式犹如“三剑客”，在初中数学教学中占据相当重要的位置，几乎无处不在又形影不离，时常联袂出现在各类考试之中。一、点击新课标方程主要有四种类型，即：（1）一元一次方程；（2）可化为一元一次方程的分式方程；（3）二元一次方程组；（4）一元二次方程。不等式主要有两种类型，即：（1）一元一次不等式；（2）一元一次不等式组。函数主要有三种类型，即：（1）一次函数；（2）反比例函数；（3）二次函数。函数、方程、不等式的综合题，主要包括方程根的判别式，方程与几何的综合，方程与不等式的综合，方程与函数的综合几种情况。二、解题策略函数、方程、不等式既是中考的重点也是中考的热点，相关的基本概念和基础知识主要以填空、选择为主，而解答题更注重知识的灵活运用与综合。就解答题而言，主要有以下特点：（1）涉及的数学知识并不深奥，也不复杂，无需特殊的解题技巧；（2）涉及的背景材料十分之泛，涉及到社会生活、生产的方方xy012图26面面；（3）往往题面文字冗长，常令学生抓不住要领，不知如何解答。解题的关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，将其转化为数学模型。解题的数学思想方法主要是：数形结合、分类讨论、待定系数、方程、转化、函数建模等等。三、典例精析：【例1】（初二）下列四个函数：①y=kx（k为常数，k0）；②y=kx+b（k，b为常数，k0）；③y=kx（k为常数，k0）；④y=ax2（a为常数，a0）。其中，在函数图象所在的每个象限内函数y的值均随着x值的增大而减少的是（）A、①B、②C、③D、④〖思维启动点〗要判断四个函数的增减性，必须在特定条件下画出四个函数的图象，才可做出选择，即：从图中可知满足题设要求的函数只有③，故选C。【例2】（2005年江苏盐城，初三）请写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且其两根互为倒数，_____________________。〖思维启动点〗先写出一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0，然后根据题设条件确定a，b，c之值。〖解析〗由于题设中要求二次项系数不为1，因此a≠0且a≠1，又所构造的方程存在两根，且其两根互为倒数，说明△≥0且a=c≠0，方程可写成ax2+bx+a=0，由于△≥0，可解出b≥2a或b≤－2a，若取a=2，则b取大于或等于4，小于或等于－4的值均可，如b=5，则有方程2x2+5x+2=0等等。【例3】（初一）关于x的不等式2x3(x－3)＋1有两个整数解，则a的取值范围是（）。3x＋24x＋aA、－94＜a≤－2B、－94≤a＜－2C、－94≤a≤－2D、－94＜a＜－2x8〖解析〗解不等式组得由不等式组的解集的确定方法得解集为：x＜2－4a8＜x＜2－4a由于它的两个整数解必为9，10，所以有：10＜2－4a≤11，解得：－94≤a＜－2，故选（B）。〖思维启动点〗借助图示思考，立马可得答案。2-4a12111098〖反思提炼〗这是一组训练学生思维能力的优秀题目，主要渗透了数形结合、分类讨论、逆向思维等数学思想和方法。【例4】（2004年哈尔滨，初一）“利海”通讯器材商场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号手机，出厂价分别为甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元。（1）若商场同时购进两种不同型号手机共40部，并将60000元恰好用完，请帮助商场计算一下如何购买？（2）若商场同时购进三种不同型号手机共40部，并将60000元恰好用完，并且要求乙种型号手机购买数量不少于6部且不多于8部，请你求出商场每种型号手机的购买数量。〖思维启动点〗（1）是一个二元一次方程组问题，但要分三种情况来讨论。（2）中对乙种型号手机数目有限制，只要分三种情况来讨论即可，即乙种型号手机分别买6部、7部和8部。7〖解析〗（