椭圆几何性质教学设计

椭圆几何性质教学设计作者简介：付敏（1973-）女江西高安人江西省南昌市第十中学一级教师教育硕士（江西南昌330006）摘要：该文将加涅的教学设计理论、建构主义理论与高中数学教学实际相整合，进行课堂教学设计，意在探索新高中数学新课程标准下有效教学的新途径。关键词：体验探究合作交流学习方式有效教学在人教版《全日制普通高级中学教科书（必修）数学》中，8．2椭圆的简单几何性质规定4课时完成，本文运用加涅的教学设计理论并结合几何画板的运用给出第一课时的教学设计。1教材分析1．1教材地位与作用在高中数学教材中，圆锥曲线方程包括椭圆、双曲线、抛物线方程。利用曲线方程，研究曲线的几何性质，并正确画出图形，是解析几何的目的；由曲线的条件列出方程是解析几何的手段。学生在这里，将第一次系统地按照椭圆方程来研究椭圆的几何性质。掌握好这部份内容将使后继的双曲线、抛物线的几何性质的学习获益。1．2教学重点与难点重点：发现和探究椭圆的几何性质，并利用代数法证明椭圆的几何性质难点：理解和掌握椭圆方程与椭圆曲线的互逆推导关系2教学目标①当给出椭圆方程时，学生能通过口头解答椭圆范围、对称性、形状特征，演示出其所掌握的椭圆的几何性质。②学生采用椭圆方程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系和数形结合解决问题。③学生通过选择几何画板中显示菜单中追踪点的命令，来执行画椭圆曲线的任务。④学生愉快地选择对知识进行归纳整理。3任务分析①学习结果类型：目标1属于规则学习；目标2属于高级规则的学习，其中既包括对外工作的智慧技能的学习，又包括对内调控的思考认识策略学习；目标3属于动作技能学习；目标4属于态度学习。②起点能力分析：学生已熟悉和掌握椭圆的标准方程形式，及判断焦点所在位置和求焦距的基本方法和步骤。③支持性条件：学生有亲历体验发现和探究的兴趣。4教学过程[情境联想1]①情境创设：根据课本P95页例3的内容，用几何画板现场演示如何借助“显示”菜单中的“追踪”命令获取一个椭圆曲线。②情境联想：观察椭圆曲线的范围，指出椭圆方程中x、y的取值范围；观察椭圆曲线的对性性，指出其关于什么对称；观察椭圆曲线与轴相点的个数，并求出它们的坐标；观察椭圆中的线段B1C1，并指出与其等长度的线段；分别对上述观察出的结论予以证明。③课件设计：演示范围：追踪椭圆上的动点在x轴、y轴上的投影。演示对称：椭圆沿x轴y轴翻折和围绕原点旋转的动画。演示顶点：顶点采用醒目的颜色，并闪炼。演示线段：线段B1C1采用醒目的颜色，可在图形中自由移动，并指导学生上台尝试用移动的方法直接发现图中与其等长的线段。[情境整理1]学生按问题呈现的先后顺序仔细观察画面上的变化，以小组为单位积极交流讨论，并选派代表总结发言，教师则及时对小组交流活动结果作出反馈和中肯的评价。①活动流程：学生：独立思考→交流讨论→方案形成调适→问题解决教师：演示课件→激励指导→方案补充完善→评价反馈②学生体验发现：（学生口述观察发现的结果，证明由教师引导，师生相互交流共同完成）1．椭圆范围：椭圆位于x=±a和y=±b围成的矩形框内,在椭圆标准方程中的x和y的取值范围是axa，byb2．椭圆对称性：椭圆关于x轴和y轴轴对称，关于原点中心对称。且关于原点中心对称轴轴对称轴即椭圆曲线关于也在曲线上点也满足上述方程又满足方程则上任意一点椭圆曲线为设证明，y，ｘyxyx、yx　　bya　　yx：),(、),(),((-x,-y)(x,-y)、、y)(-x,　1),(　y)(x,22223．椭圆顶点：椭圆与x轴和y轴各有两个交点，令x=0，得出y=±b，令y=0，得出x=±a，故四个顶点坐标分别为（0，±a）和（±b，0），与线段B1C1等长的线段有B1C2、B2C1、B2C2、OA1、OA2。证明：∵OB1=OB2=b，OC1=OC2=c且∠BOC=90°,b2+c2=a2∴B1C1=B1C2=B2C1=B2C2=a又∵OA1=OA2=a∴B1C1=B1C2=B2C1=B2C2=OA1=OA2=a③教师言语指导：在同学们发现的结论中，我们规定标准椭圆与轴的交点为其顶点，原点为它的对称中心，简称椭圆的中心。线段A1A2和线段B1B2分别叫做它的长轴和短轴，长度分别记为？（停顿，等待学生回答）显然，此时的a、b分别表示椭圆的长半轴长和短半轴长。[情境联想2]①情境创设：设计椭圆)0ba(12222byax的曲线、圆)0ba(12222byax的曲线、椭圆)0ab(12222byax的曲线三者图象之间的变化和形成过程，在操作中点击动画按扭“改变a的值”，即可在保持b值不变的情况下变化a的值，从而让学生进行数和形的对应观察。②情境联想：观察图象中a、b数值，指出在b的值不变的情况下，a、b数值愈接近，a、c之间关系如何？椭圆形状如何变化？并由此推导在一般情况下相应的结论是什么？by　ａｘ　－ａ　10　1　222222b－axbya同理证明③课件设计：用鲜艳颜色显示曲线，使图象变化起到最佳的视角效果。[情境整理2］学生仍以小组为单位汇报体验探究和合作交流结果，老师在恰当时候给出离心率的定义性概念，并再次引导学生自行总结离心率与椭圆形关间的规律。①合作活动流程：同情境整理1②学生体验发现：椭圆形状变化：当b值不变时，a、b值愈接近，椭圆的形状愈圆，这是因为22cba，此时对应a、c值相差愈大。在一般情况下，只要a、c的值愈接近，椭圆形状愈圆。③老师言语指导：为方便反映a、c的数值的接近程度与椭圆形状的关系，我们规定ac为椭圆的离心率，很明显，它与0和1的关系？（停顿，等待学生回答）它愈接近1，椭圆形状愈？（停顿，等待学生回答）它愈接近0，椭圆形状愈？（停顿，等待学生回答）上述答案是不是与1很细长，0很圆正好对应呢？（学生若有所思，会心一笑）[学习累积]教师呈现两个情境中的数学问题，先让学生独立思考，再让小组合作交流，并派代表回答，最后由其他小组代表给予评定或给予补充，在这个过程中教师只作出引导和总结性的评价。①变式练习1．要把一个边长分别为52cm和30cm的矩形木板锯成面积最大的椭圆形，请用简便方法在木板上画出这个椭圆的草图，并回答它的长轴长和短轴长？（根据课本P102页练习2改编）2．如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439km，远地点B（离地面最远的点）距地面2384km，并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程（精确至1km）。②情境联想第①小题的答案为现场演示。第②小题设计成课件，以动画形式演示卫星与地心的连线段最近地距离和最远地距离。③教师总结指导第①题的解决利用了椭圆的对称性，在矩形框内画椭圆可以简化画图过程，保证图形的准确性。这亦即椭圆草图的简易画法。第②题利用椭圆的几何性质亦可反推椭圆方程，同学们要注意运用数学结合，并在代数运算中要领悟a、b、c三个量中知二求一的规律。④课堂练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：1．经过点P（-3，0）、Q（0，-2）。2．长轴长等于20，离心率等于0.6。3．并将第2问答案中的椭圆的几何性质用表格的形式列出来。(本题的第3问是在课本P99页例题2基础上进行了改编)⑤通过多媒体，利用“教学流程图”形式简约地对本节课的重点内容进行学习层级方面的展示，以达到促进学生数学知识保持和迁移目的。「实施评价」抽查部份同学的课堂练习，并对演板同学的解法予以及时的细致点评。「引出作业」①P103页3、4、5、6②本节课动作技能学习内容供有兴趣同学学习和掌握5评估反思通过教学过程中对学生交流活动的细致观察、课堂练习和家作表现的评估，发现大多数同学对这节课的内容掌握较好，少数学生需要改进的一点的就是作业中数椭圆)0ba(12222byax的几何性质范围对称性顶点坐标离心率解1022ax不等式（规则）如果两个非负数之和等于1，那么每个均不大于1（辨别）关于x轴、y轴、原点对称的两个点坐标的规律（规则）（规则）（x,-y）(-x,y)(-x,-y)都满足椭圆方程（辨别）X轴、y轴上的点的坐标的特征（规则）定义性概念学语言的规范性使用，不过，这可以在批改作业时，通过描述性批注给予学生反馈和指正。对于部份后进生的学习困难诊断是：未能熟练运用数形结合思考认识策略，将所学椭圆几何性质对外解决较难题。提出的补救措施是：严格监督学生独立订证作业中的错误，并让学生口述出所关注的数学对象和使用的方法，密切关注学生在学习层级所处位置，通过针对性练习使学生多次同化和顺应，最终出色掌握这部分的内容。值得欣慰的是，上完本课，不少学生积极运用在课堂上学习的几何画板知识在电脑上操作，遇到了阻碍还跑来向教师诚恳请教，表现出对数学体验发现和体验探究活动的浓厚兴趣，和希望今后自己能独立运用，独立实现自我体验和探索的强烈愿望。这说明，当引导学生真正参与到富含观察、体验、操作的数学活动中来时，就能充分激发学生自主学习愿望和学习潜能，而最终实现每个学生个人意义上的数学建构，达到有效教学的终级目标。6教学设计说明本课设计的教学理念为：尽力消除数学学习上的不利者，实现学生数学学习自我意义建构，追求数学课堂上的有效教学。其理论依据是蕴含学习结果分类、智慧技能学习层次论、学习条件论、五成份陈述教学目标技术、任务分析技术等在内的加涅的教学设计原理和建构主义学习理论。其教学过程设计中通过教师熟练自如地运用几何画板为学生创设探究型的课堂学习环境，引导学生围绕问题积极讨论，通过生生和师生互动共同解决问题，并鼓励学生积极主动地掌握动作技能内容，从而培养学生自已动手“做数学”，亲历和探究数学的变化过程，促进学生形成自我需要的学习动力，变“要我学”为“我要学”，此设计意在唱响高中数学新课程标准所倡导的积极主动、勇于探索的数学学习方式和探索新形式下有效数学教学的新途径。参考文献：[1]B.M加涅.教学设计原理[M].华东师范大学出版社，2004,1．[2]B.M加涅.学习的条件与教学论[M].华东师范大学出版社，2002,12．[3]何克抗．建构主义学习环境下的教学设计[J]．北京师范大学学报(社科版)，1998，8．