椭圆曲线知识专题

个性化辅导讲义湖州龙文教育咨询有限公司1课题椭圆曲线知识专题教学目标椭圆的范围、对称性、对称中心、离心率及顶点（截距）.重点、难点椭圆的定义及椭圆的标准方程.教学难点：椭圆标准方程的推导.考点及考试要求二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。教学内容知识框架1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,FF的距离之和等于常数（大于21FF）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距.2．椭圆标准方程的推导：如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点21,FF，并且点O与线段21FF的中点重合.设点),(yxM是椭圆上任一点，椭圆的焦距为c2（c＞0）.焦点21,FF的坐标分别是)0,(),0,(cc，又设M与21,FF的距离的和等于常数a2.aMFMF221椭圆的标准方程：12222byax（a＞b＞0）它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是)0,(1cF、)0,(2cF，且222bac.如果使点21,FF在y轴上，点21,FF的坐标是),0(),,0(21cFcF，则椭圆方程为12222bxay（a＞b＞0）yOF1F2xMccyxF2F1OyxF2F1O个性化辅导讲义湖州龙文教育咨询有限公司2条件{M|MF1|+|MF2|=2a，2a＞|F1F2|}{M||MF|Ml=|MF|Ml=e0e1}1122点到的距离点到的距离，＜＜标准方程xaybab222210()＞＞xbyaab222210()＞＞顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴对称轴：x轴，y轴．长轴长|A1A2|=2a，短轴长|B1B2|=2b焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|=2c(c＞0)，c2=a2－b2离心率e(0e1)＝＜＜ca准线方程ll12xx：＝；：＝acac22ll12yy：＝；：＝acac22焦点半径|MF1|＝a＋ex0，|MF2|＝a－ex0|MF1|＝a＋ey0，|MF2|＝a－ey0点和椭圆的关系＞外在椭圆上＜内xaybxy022022001(,)(k为切线斜率)，ykx＝±akb222(k为切线斜率)，ykx＝±bka222切线方程xxayyb0202＋＝1(x0，y0)为切点xxbyya0202＋＝1(x0，y0)为切点切点弦方　程(x0，y0)在椭圆外xxayyb0202＋＝1(x0，y0)在椭圆外xxbyya0202＋＝1弦长公式|xx|1+k|yy|1+1k212122－或－其中(x1，y1)，(x2，y2)为割弦端点坐标，k为割弦所在直线的斜率类型一：椭圆的基本量1．指出椭圆的焦点坐标、准线方程和离心率.解析：椭圆的方程为，所以，，.∴焦点坐标为，个性化辅导讲义湖州龙文教育咨询有限公司3准线方程为和，离心率.总结升华：要将椭圆的方程化为标准形式，才能确定基本几何量.举一反三：【变式1】椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离=________【答案】7【变式2】椭圆的两个焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长=___________.【答案】20【变式3】已知椭圆的方程为，焦点在x轴上，则m的取值范围是（）。A．－4≤m≤4且m≠0B．－4＜m＜4且m≠0C．m＞4或m＜－4D．0＜m＜4【答案】B【变式4】已知椭圆mx2+3y2－6m=0的一个焦点为（0，2），求m的值。【答案】m＝5。类型二：椭圆的标准方程2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；（2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点。思路点拨：用待定系数法。解析：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为。∵2a=10，2c=8，∴a=5，c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求椭圆的标准方程为；（2）∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为由椭圆的定义知，，个性化辅导讲义湖州龙文教育咨询有限公司4∴又c=2，∴b2=a2－c2=10－4=6∴所求椭圆的标准方程为。总结升华：求椭圆的标准方程就是求a2及b2（a＞b＞0），并且判断焦点所在的坐标轴。当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为。举一反三：【变式1】两焦点的坐标分别为，且椭圆经过点。【答案】。【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程。【答案】。3．求经过点P（－3，0）、Q（0，2）的椭圆的标准方程。解析：设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）。∵椭圆经过点P（－3，0）和Q（0，2），∴∴∴所求椭圆方程为。总结升华：在求椭圆的标准方程时必须先判断焦点的位置，然后再设出方程。在无法判断焦点的位置时可设mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），而不规定m与n的大小关系，从而避免讨论焦点的位置。举一反三：【变式】已知椭圆经过点P（2，0）和点，求椭圆的标准方程。【答案】个性化辅导讲义湖州龙文教育咨询有限公司54．求与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程。解析：把方程4x2+9y2=36写成，则其焦距为由题知，则，∴a=5，b2=a2－c2=52－5=20∴所求椭圆的方程为或。总结升华：本例中由于没指明焦点所在的坐标轴，所以椭圆的方程应有两种形式。【变式1】在椭圆的标准方程中，，则椭圆的标准方程是（）A．B．C．D．以上都不对【答案】D【变式2】椭圆过（3，0）点，离心率，求椭圆的标准方程。【答案】或。【变式3】长轴长等于20，离心率等于，求椭圆的标准方程。【答案】或。【变式4】已知椭圆的中心在原点，经过点P（3，0）且a=3b，求椭圆的标准方程。【答案】或。类型三：求椭圆的离心率或离心率的取值范围5．已知椭圆一条准线为，相应焦点为，长轴的一个顶点为原点，求其离心率的取值。解析：椭圆长轴顶点到相应焦点的距离为，准线到相应焦点的距离为.个性化辅导讲义湖州龙文教育咨询有限公司6由已知得，解得，.举一反三：【变式1】椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分，则椭圆离心率为()A.B.C.D.不确定【答案】B【变式2】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（）【答案】D【变式3】椭圆上一点到两焦点的距离分别为，焦距为，若成等差数列，则椭圆的离心率为__________。【答案】【变式4】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于___________。【答案】6．已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围。解析：△F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°①又|PF1|+|PF2|=2a②联立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴个性化辅导讲义湖州龙文教育咨询有限公司7总结升华：求离心率或离心率的范围，通常构造关于，，的齐次式，从而构造出关于的方程或不等式.举一反三：【变式1】已知椭圆与x轴的正半轴交于A，0是原点，若椭圆上存在一点M，使MA⊥MO，求椭圆离心率的取值范围。【答案】设M点的坐标为，A(a，0)由MA⊥MO得化简得所以【变式2】已知椭圆，以，，为系数的关于的方程无实根，求其离心率的取值范围。【答案】由已知，，所以，即，不等式两边同除可得，解不等式得或.由椭圆的离心率，所以所求椭圆离心率.类型四：椭圆定义的应用7．若一个动点P（x，y）到两个定点A（－1，0）、A＇（1，0）的距离的和为定值m（m0），试求P点的轨迹方程。解析：∵|PA|+|PA＇|=m，|AA＇|=2，|PA|+|PA＇|≥|AA＇|，（1）当0m2时，P点的轨迹不存在；（2）当m=2时，P点的轨迹就是线段AA＇∴其方程为y=0（－1≤x≤1）；（3）当m＞2时，由椭圆的定义知，点P的轨迹是以A、A＇为焦点的椭圆个性化辅导讲义湖州龙文教育咨询有限公司8∵2c=2，2a=m，∴，，∴点P的轨迹方程为。总结升华：平面内一动点到两定点的距离和等于常数时，动点的轨迹不一定是椭圆。。当动点到两点的距离和小于两定点之间的距离时，动点的轨迹不存在；当动点到两点的距离和等于两定点之间的距离时，动点的轨迹是线段；当动点到两定点的距离和（常数）大于两定点之间的距离时，动点的轨迹是椭圆。举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（）A．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆B．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段C．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线D．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹存在，则轨迹是一个椭圆或者是一条线段【答案】D【变式2】已知A（0，－1）、B（0，1）两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是（）A．B．C．D．【答案】B【变式3】已知圆，圆A内一定点B（2，0），圆P过B点且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程。【答案】设|PB|=r，∵圆P与圆A内切，圆A的半径为6，∴两圆的圆心距|PA|=6－r，即|PA|+|PB|=6（大于|AB|）。∴点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆。∴2a=6，2c=|AB|=4。∴a=3，c=2，b2=a2－c2=32－22=5。∴点P的轨迹方程为。类型五：坐标法的应用个性化辅导讲义湖州龙文教育咨询有限公司99．△ABC的两个顶点坐标分别是B（0，6）和C（0，－6），另两边AB、AC的斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程。解析：设顶点A的坐标为（x，y）由题意得，∴顶点A的轨迹方程为。总结升华：求出曲线方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件。举一反三：【变式1】已知A、B两点的坐标分别为（0，－5）和（0，5），直线MA与MB的斜率之积为，则M的轨迹方程是（）A．B．C．D．【答案】D【变式2】△ABC两顶点的坐标分别是B（6，0）和C（－6，0），另两边AB、AC的斜率的积是，则顶点的轨迹方程是（）A．B．C．D．【答案】D【变式3】已知A、B两点的坐标分别是（－1，0）、（1，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为m（m＜0），求点M的轨迹方程并判断轨迹形状。【答案】设点M的坐标为（x，y），因为点A的坐标是（－1，0），所以直线AM的斜率为，同理，直线BM的斜率为，个性化辅导讲义湖州龙文教育咨询有限公司10由已知有。化简得点M的轨迹方程为：当m=－1时，M的轨迹方程为，M的轨迹是单位圆去掉两个点（±1，0）。当－1＜m＜0时，M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆去掉两个点（±1，0）。当m＜－1时，M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆去掉两个点（±1，0）。