椭圆知识点总结

1一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数212FFa的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。（212FFa时为线段21FF，212FFa无轨迹）。2．标准方程：222cab①焦点在x轴上：12222byax（a＞b＞0）；焦点F（±c，0）②焦点在y轴上：12222bxay（a＞b＞0）；焦点F（0,±c）注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：221xymn或者mx2+ny2=1二．椭圆的简单几何性质：1.范围（1）椭圆12222byax（a＞b＞0）横坐标-a≤x≤a,纵坐标-b≤x≤b（2）椭圆12222bxay（a＞b＞0）横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a2.对称性椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.顶点（1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）（2）线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4．离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22ca，即ac称为椭圆的离心率，记作e（10e），22221()beaac奎屯王新敞新疆e0是圆；e越接近于0（e越小），椭圆就越接近于圆;e越接近于1（e越大），椭圆越扁；2注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆。（edPF||）①焦点在x轴上：12222byax（a＞b＞0）准线方程：cax2②焦点在y轴上：12222bxay（a＞b＞0）准线方程：cay2小结一：基本元素（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量），特征三角形（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）（3）基本线：对称轴（共两条线）5．椭圆的的内外部（1）点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab.（2）点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab.6.几何性质（1）最大角12122max,FPFFBF（2）最大距离，最小距离例题讲解：一.椭圆定义：１．方程10222222yxyx化简的结果是2．若ABC的两个顶点4,0,4,0AB，ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程是3.已知椭圆22169xy＋=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为二．利用标准方程确定参数1.若方程25xk+23yk=1（1）表示圆，则实数k的取值是.（2）表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是.（3）表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是.3（4）表示椭圆，则实数k的取值范围是.2.椭圆22425100xy的长轴长等于，短轴长等于,顶点坐标是,焦点的坐标是,焦距是，离心率等于,3．椭圆2214xym的焦距为2，则m=。4．椭圆5522kyx的一个焦点是)2,0(，那么k。三．待定系数法求椭圆标准方程1．若椭圆经过点(4,0)，(0,3)，则该椭圆的标准方程为。2．焦点在坐标轴上，且213a，212c的椭圆的标准方程为3．焦点在x轴上，1:2:ba，6c椭圆的标准方程为4.已知三点P（5，2）、1F（－6，0）、2F（6，0），求以1F、2F为焦点且过点P的椭圆的标准方程；变式：求与椭圆224936xy共焦点，且过点(3,2)的椭圆方程。四．焦点三角形1．椭圆221925xy的焦点为1F、2F，AB是椭圆过焦点1F的弦，则2ABF的周长是。2．设1F，2F为椭圆400251622yx的焦点，P为椭圆上的任一点，则21FPF的周长是多少？21FPF的面积的最大值是多少？3．设点P是椭圆2212516xy上的一点，12,FF是焦点，若12FPF是直角，则12FPF的面积为。变式：已知椭圆14416922yx，焦点为1F、2F，P是椭圆上一点．若6021PFF，求21FPF的面积．4五．离心率的有关问题1.椭圆1422myx的离心率为21，则m2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0120，则此椭圆的离心率e为3．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为4.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。5.在ABC△中，3,2||,300ABCSABA．若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e．最值问题：1.椭圆2214xy两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值为_____，最小值为_____2、椭圆2212516xy两焦点为F1、F2，A(3，1)点P在椭圆上，则|PF1|+|PA|的最大值为_____，最小值为___3、已知椭圆2214xy，A(1，0)，P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值最小值。4.设F是椭圆322x＋242y=1的右焦点,定点A(2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点P使|PA|+2|PF|最小,求P点坐标最小值.