概率与数理统计_习题集(含答案)

第1页共15页《概率与数理统计》课程习题集西南科技大学成人、网络教育学院版权所有习题【说明】：本课程《概率与数理统计》（编号为01008）共有计算题1,计算题2等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。一、计算题11.设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来。(1)A出现，B、C不出现；(2)A、B都出现，而C不出现；(3)所有三个事件都出现；(4)三个事件中至少一个出现；(5)三个事件中至少两个出现。2.在分别标有1,2,3,4,5,6,7,8的八张卡片中任抽一张。设事件A为“抽得一张标号不大于4的卡片”，事件B为“抽得一张标号为偶数的卡片”，事件C为“抽得一张标号为奇数的卡片”。试用样本点表示下列事件：（1）AB；（2）A+B；（3）B；（4）A-B；（5）BC3.写出下列随机试验的样本空间：（1）一枚硬币掷二次，观察能出现的各种可能结果；（2）对一目标射击，直到击中4次就停止射击的次数；（3）二只可辨认的球，随机地投入二个盒中，观察各盒装球情况。4.设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。（1）A发生，B与C不发生；（2）A，B，C都发生；（3）A，B，C中不多于一个发生。5.甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标。试用A、B、C的运算关系表示下列事件：（1）至少有一人命中目标（2）恰有一人命中目标第2页共15页（3）恰有二人命中目标（4）最多有一人命中目标（5）三人均命中目标6.袋内有5个白球与3个黑球。从其中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。7.两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02。加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率。8.某地区的电话号码由7个数字组成（首位不能为0），每个数字可从0，1，2，…，9中任取，假定该地区的电话用户已经饱和，求从电话码薄中任选一个号码的前两位数字为24的概率。9.同时掷两颗骰子（每个骰子有六个面，分别有点数1，2，3，4，5，6），观察它们出现的点数，求两颗骰子得点数不同的概率。10.一批零件共100个，其中次品有10个，今从中不放回抽取2次，每次取一件，求第一次为次品，第二次为正品的概率。11.设连续型随机变量X的分布函数为000)(22xxBeAxFx求（1）系数A及B；（2）X的概率密度()fx；（3）X的取值落在（1，2）内的概率。12.假设X是连续随机变量，其密度函数为2,02()0,cxxfx其他求：（1）c的值；（2）(11)PX13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数(,)(arctan)(arctan)FxyABxCy，求常数Ａ，Ｂ，Ｃ(),()xy．14.设随机变量X的分布函数为0,1()ln,11,XxFxxxexe求{2},{03},{252}PXPXPX；（2）求概率密度()Xfx15.设随机变量X的概率密度为第3页共15页212(1),12,()0,xxfx其他.16.设随机变量X的概率密度为其它0101011)(xxxxxf，求E(X)，D(X)。17.设X的概率密度为0202)(xexexfxx，试求|X|的数学期望。18.搜索沉船，在时间t内发现沉船的概率为1te（λ0），求为了发现沉船所需的平均搜索时间。19.设Ｘ服从参数为的指数分布，即Ｘ有密度函数,0()0,xexfx其他求：2EXEX（），（）。20.*()()XExXDx称为对随机变量X的标准化随机变量，求)()(**XDXE及。二、计算题221.已知X~B(n,p)，试求参数n,p的矩法估计值。22.设总体X在[a,b]上服从均匀分布],[0],[1),,(baxbaxabbaxf，试求参数a,b的矩法估计量。23.设21,,NnXX是来自（，）的样本，求2，的最大似然估计。24.设有一批产品。为估计其废品率p，随机取一样本X1，X2，…，Xn，其中第4页共15页取得废品取得合格品10iX（i=1,2,…,n）则niiXnXp11ˆ是p的一致无偏估计量。25.设总体X的均值及方差2都存在，且有20。但，2均未知。又设12,,...,nXXX是来自X的样本。试求，2的矩估计量。26.某厂生产的某种型号电池，其寿命长期以来服从方差σ2=5000（小时2）的正态分布。今有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命波动性较大。为判断这种想法是否合乎实际，随机取了26只这种电池测出其寿命的样本方差s2=7200（小时2）。问根据这个数字能否断定这批电池的波动性较以往的有显著变化（取a=0.02，查表见后面附表）?概率论与数理统计附表标准正态分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99322.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.9949χ2分布部分表na=0.995a=0.99a=0.05a=0.025a=0.01a=0.005249.88610.85636.41539.36442.98045.5592510.52011.52437.65240.64644.31446.9282611.16012.19838.88541.92345.64248.290常用抽样分布)1,0(~NnXU第5页共15页)1(~/ntnSXT)1(~)1(2222nSn27.某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8，且各户用电量多少是相互独立的。求：1、同一时刻有8100户以上用电的概率；2、若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以0.975的概率供应居民用电？（查表见后面的附表）概率论与数理统计附表标准正态分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99322.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.9949χ2分布部分表na=0.995a=0.99a=0.05a=0.025a=0.01a=0.005249.88610.85636.41539.36442.98045.5592510.52011.52437.65240.64644.31446.9282611.16012.19838.88541.92345.64248.290常用抽样分布)1,0(~NnXU)1(~/ntnSXT第6页共15页)1(~)1(2222nSn28.某种电子元件的寿命x（以小时计）服从正态分布，μ,σ2均未知，现测得16只元件，其样本均值为5.241x，样本标准方差为S=98.7259。问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）？T分布表Na=0.25a=0.10a=0.05a=0.025130.9881.5021.77092.1604140.69241.34501.76132.1448150.69241.34061.75312.1315160.69011.33681.74592.119929.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下有正态分布N(4.55，0.1082)。现在测了五炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。问：若标准差不改变，总体平均值有无变化？（a=0.05）标准正态分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99322.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.9949常用抽样分布)1,0(~NnXU)1(~/ntnSXT)1(~)1(2222nSn30.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下有正态分布N(4.55，0.1082)。现在测了五炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。问：若标准差不改变，总体平均值有无变化？（a=0.05）标准正态分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.9932第7页共15页2.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.9949常用抽样分布)1,0(~NnXU)1(~/ntnSXT)1(~)1(2222nSn答案一、计算题11.解：（1）ABC；（2）CAB；（3）ABC；（4）A+B+C；（5）AB+BC+CA（每个3分）2.解：（1）AB={2，4}；（2）A+B={1，2，3，4，5，6，8}；（3）B={1，3，5，7}；（4）A-B={1，3}；（5）BC={1,2,3,4,5,6,7,8}（每个3分）3.解：（1）{（HH）（HT）（TH）（TT）}（2）{4，5，6，…}（3）{(12,0)(0,12)(1,2)(2,1)}其中：1为一号球，2为二号球（每个5分）4.解：（1）利用事件的运算定义，该事件可表示为ABC。（2）同理，该事件可表示为ABC。（3）CACBBA（每小题5分）5.解：（1）ABC（2）ABCABCABC（3）ABCABCABC(4)BCACAB(5)ABC（每小题3分）第8页共15页解：基本事件的总数28Cn；基本事件数25Ck。故所求的概率375.01452825CCnkp7.解：任取一零件，设B1，B2分别表示它是第一、二台车床的产品，A表示它是合格品。（4分）则32)(1BP，31)(2BP97.003.01)|(1BAP，98.002.01)|(2BAP（10分）由全概率公式得973.098.03197.032)|()()|()()(2211BAPBPBAPBPAP（15分）8.解：第一位数字不能是0，这时，基本事件的总数为1069（3分）A表示“任选的电话号码的前两位数字恰好为24”。由于电话号码的前两个数字为24，后五个数字中每一个可以由0,1,2,…,9中任取，故对A有利事件的数目为105。（6分）于是90191010)(65AP（15分）9.解：一个基本事件是由两个数字组成的排列（i，j），i,j=1,2,3,4,5,6，而i,j可以重复，故基本事件的总数为62。（5分）A表示“两颗骰子掷得的点数不同”。对A有利的基本事件数等于所有i≠j排列方式的数目，即从1，2，3，4