概念同角关系及诱导公式作业及答案

概念、同角关系式及诱导公式作业及答案一、选择题：1.若1弧度的圆心角所对的弦长等于2，则这圆心角所对的弧长等于()A．sin12B.π6C.1sin12D．2sin12解析：设圆的半径为r.由题意知r·sin12＝1，∴r＝1sin12，∴弧长l＝α·r＝1sin12.答案：C2．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致为()解析：如图取AP的中点为D，设∠DOA=θ，则d=2sinθ，l=2θR=2θ，∴d=2sin2l.答案：C3．在(0,2π)内使sinx＞cosx成立的x取值范围是()A.π4，π2∪5,4π，5π4B.π4，πC.π4，5π4D.π4，π∪5π4，3π2解析：用单位圆内正弦线和余弦线来解．答案：C4．(2010银川模拟)若角α的终边落在直线y＝－x上，则sinα1－sin2α＋1－cos2αcosα的值等于()A．0B．2C．－2D．2tanα解析：因为角α的终边落在直线y＝－x上，α＝kπ＋3π4，k∈Z，sinα，cosα的符号相反．当α＝2kπ＋3π4，即角α的终边在第二象限时，sinα＞0，cosα＜0；当α＝2kπ＋7π4，即角α的终边在第四象限时，sinα＜0，cosα＞0.所以有sinα1－sin2α＋1－cos2αcosα＝sinα|cosα|＋|sinα|cosα＝0.答案：A5．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是()A．sinθ2B．cosθ2C．tanθ2D．cos2θ解析：∵2kπ＜θ＜2kπ＋π2(k∈Z)，∴kπ＜θ2＜kπ＋π4(k∈Z)，4kπ＜2θ＜4kπ＋π(k∈Z)．可知θ2是第一、第三象限角，sinθ2、cosθ2都可能取负值，只有tanθ2能确定为正值．2θ是第一、第二象限角，cos2θ可能取负值．答案：C6．设0≤θ＜2π，如果sinθ＜0且cos2θ＜0，则θ的取值范围是()A．π＜θ＜3π2B.3π2＜θ＜2πC.π4＜θ＜3π4D.5π4＜θ＜7π4解析：∵0≤θ＜2π，且sinθ＜0，∴π＜θ＜2π，又由cos2θ＜0得2kπ＋π2＜2θ＜2kπ＋3π2，即kπ＋π4＜θ＜kπ＋3π4(k∈Z)，∵π＜θ＜2π，∴k＝1，即θ的取值范围是5π4＜θ＜7π4.答案：D7．(2010·潍坊模拟)已知α∈(π2，3π2)，tan(α－7π)＝－34，则sinα＋cosα的值为()A．±15B．－15C.15D．－75解析：tan(α－7π)＝tanα＝－34，∴α∈(π2，π)，sinα＝35，cosα＝－45，∴sinα＋cosα＝－15.答案：B8．已知tanθ＝2，则sin(π2＋θ)－cos(π－θ)sin(π2－θ)－sin(π－θ)＝()A．2B．－2C．0D.23解析：sin(π2＋θ)－cos(π－θ)sin(π2－θ)－sin(π－θ)＝cosθ－(－cosθ)cosθ－sinθ＝2cosθcosθ－sinθ＝21－tanθ＝21－2＝－2.答案：B9.(tanx＋1tanx)cos2x＝()A．tanxB．sinxC．cosxD.1tanx解析：(tanx＋1tanx)cos2x＝(sinxcosx＋cosxsinx)cos2x＝sin2x＋cos2xsinxcosx·cos2x＝cosxsinx＝1tanx.答案：D10.已知cos(π4＋α)＝－12，则sin(π4－α)＝()A．－12B.12C．－22D.22解析：sin(π4－α)＝cos[π2－(π4－α)]＝cos(π4＋α)＝－12.答案：A11．已知A为锐角，lg(1＋cosA)＝m，lg11－cosA＝n，则lgsinA的值为()A．m＋1nB．m－nC.12(m＋1n)D.12(m－n)解析：两式相减得lg(l＋cosA)－lg11－cosA＝m－n⇒lg[(1＋cosA)(1－cosA)]＝m－n⇒lgsin2A＝m－n，∵A为锐角，∴sinA＞0，∴2lgsinA＝m－n，∴lgsinA＝m－n2.答案：D12.已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零常数，若f(2009)＝－1，则f(2010)等于()A．－1B．0C．1D．2解析：法一：∵f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asinα＋bcosβ)＝－1，∴f(2010)＝asin(2010π＋α)＋bcos(2010π＋β)＝asinα＋bcosβ＝1.法二：f(2010)＝asin(2010π＋α)＋bcos(2010π＋β)＝asin[π＋(2009π＋α)]＋bcos[π＋(2009π＋β)]＝－asin(2009π＋α)－bcos(2009π＋β)＝－f(2009)＝1.答案：C二、填空题：13．若角β的终边与60°角的终边相同，在0°～360°内，终边与角β3的终边相同的角为________．解析：∵β＝k·360°＋60°，k∈Z，∴β3＝k·120°＋20°，k∈Z.又β3∈[0，π)，∴0°≤k·120°＋20°＜360°，k∈Z，∴－16≤k＜176，∴k＝0,1,2.此时得β3分别为20°，140°，260°.故在[0，π)内，与角β3终边相同的角为20°，140°，260°.答案：20°，140°，260°14．sin(π＋π6)sin(2π＋π6)sin(3π＋π6)…sin(2010π＋π6)的值等于________．解析：原式＝(－12)12(－12)…12＝－122010.答案：－12201015．若f(cosx)＝cos3x，则f(sin30°)的值为________．解析：∵f(cosx)＝cos3x，∴f(sin30°)＝f(cos60°)＝cos(3×60°)＝cos180°＝－1.答案：－116.已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝________()解析：由cos(α－π)＝－513得，cosα＝513，而α为第四象限角，∴sin(－2π＋α)＝sinα＝－1－cos2α＝－1213.答案：－1213三、解答题：17．(1)设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P(x，5)，且cosα＝24x，求sinα与tanα的值；(2)已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ，cosθ.解：(1)∵r＝x2＋5，∴cosα＝xx2＋5，从而24x＝xx2＋5，解得x＝0或x＝±3.∵90°＜α＜180°，∴x＜0，因此x＝－3.故r＝22，sinα＝522＝104，tanα＝5－3＝－153.(2)∵θ的终边过点(x，－1)，∴tanθ＝－1x，又tanθ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.当x＝1时，sinθ＝－22，cosθ＝22；当x＝－1时，sinθ＝－22，cosθ＝－22.18．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c(c＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝60°＝π3，R＝10，∴l＝103π(cm)，S弓＝S扇－S△＝12×103π×10－12×102×sin60°＝50(π3－32)(cm2)．(2)法一：∵扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝c2＋α，∴S扇＝12α·R2＝12α(c2＋α)2＝c22α·14＋4α＋α2＝c22·14＋α＋4α≤c216.∴当且仅当α＝4α，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形面积有最大值c216.法二：由已知2R＋l＝c，∴R＝c－l2(l＜c)，∴S＝12Rl＝12·c－l2·l＝14(cl－l2)＝－14(l－c2)2＋c216，∴当l＝c2时，Smax＝c216，此时α＝lR＝c2c－c22＝2，∴当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值c216.19．如果sinα·cosα＞0，且sinα·tanα＞0，化简：cosα2·1－sinα21＋sinα2＋cosα2·1＋sinα21－sinα2.解：由sinα·tanα＞0，得sin2αcosα＞0，cosα＞0.又sinα·cosα＞0，∴sinα＞0，∴2kπ＜α＜2kπ＋π2(k∈Z)，即kπ＜α2＜kπ＋π4(k∈Z)．当k为偶数时，α2位于第一象限；当k为奇数时，α2位于第三象限．∴原式＝cosα2·(1－sinα2)2cos2α2＋cosα2·(1＋sinα2)2cos2α2＝cosα2·1－sinα2|cosα2|＋cosα2·1＋sinα2|cosα2|＝2cosα2|cosα2|＝2(α2在第一象限时)－2(α2在第三象限时).20．已知f(α)＝sin(π－α)cos(2π－α)cos(－α＋32π)cos(π2－α)sin(－π－α)(1)化简f(α)；(2)若α为第三象限角，且cos(α－32π)＝15，求f(α)的值；(3)若α＝－313π，求f(α)的值．解：(1)f(α)＝sinαcosα(－sinα)sinα·sinα＝－cosα.(2)∵cos(α－32π)＝－sinα＝15，∴sinα＝－15，又∵α为第三象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－265，∴f(α)＝265.(3)∵－313π＝－6×2π＋53π∴f(－313π)＝－cos(－313π)＝－cos(－6×2π＋53π)＝－cos53π＝－cosπ3＝－12.21．(2010·宁波模拟)已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导函数．(1)求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的值域和最小正周期；(2)若f(x)＝2f′(x)，求1＋sin2xcos2x－sinxcosx的值．解：(1)∵f′(x)＝cosx－sinx，∴F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋2sin(2x＋π4)，函数F(x)的值域为[1－2，1＋2]，最小正周期为T＝2π2＝π.(2)∵f(x)＝2f′(x)⇒sinx＋cosx＝2cosx－2sinx，∴cosx＝3sinx⇒tanx＝13，∴1＋sin2xcos2x－sinxcosx＝2sin2x＋cos2xcos2x－sinxcosx＝2tan2x＋11－tanx＝11923＝116.