概率统计第七章参数估计

第七章参数估计参数估计是统计推断的基本内容之一，它是凭借从总体中抽取的样本，构造合适的样本函数，对总体中的未知参数作出符合要求的估计.例1.某批产品的质量用次品率来衡量，但是数量太大，无法一一检测，那么如何估计该批产品的质量呢？我们可以抽取100件进行检测，如果其中有95件正品，5件次品.这时我们就把100件样品的次品率0.05，作为该批产品的次品率的估计。例2.要统计某地人均年商品消费额，我们抽取1000户进行调查，计算得到人均年商品消费额为6800元，这时我们就把样本的人均年商品消费额6800元作为该地人均年商品消费额的估计。上述例子的共同之处是：利用样本资料得到的信息来估计有关总体分布中的一些未知参数，这类估计方法称为参数估计。依据估计形式的不同，参数估计分为点估计和区间估计两种。第一节参数的点估计一.估计量，估计值和点估计1.估计量：设是来自总体X的样本，是总体的未知参数，若用一个合适的统计量来估计，则称为参数的估计量.2.估计值：在抽样后，每当有了一组样本值12,,,nxxx，将其代入统计量，称12ˆ,,,nxxx为参数的估计值。3.点估计：设是总体的未知参数，如果用估计值12ˆ,,,nxxx来估计未知参数，这种估计称为点估计。二.点估计的两个基本估计式1.用样本均值X作为总体X的数学期望EX的估计量2.用样本方差2S作为总体X的方差DX的估计量特别地，对于正态总体2,N，有22ˆˆ,XS.例1.某灯泡工厂某天生产了一大批灯泡，从中任意取出10只进行寿命试验，测得数据如下（单位：小时）：1050110010801120120012501040113013001200试估计该天生产的灯泡的平均寿命。解：11050110010801120120012501040113013001200114710x所以ˆ1147x，即：估计该天生产的灯泡的平均寿命为1147小时.例2.设总体X的概率密度为1,01;0,0,1xxfxxx，其中是总体的未知参数，求的估计量。解：设为取自总体X的样本，因为110;1EXxfxdxxxdx取样本均值X作为总体X的数学期望EX的估计量，即：ˆEXX，于是得到：ˆˆ1X，所以ˆ1XX.第二节估计量的评价标准一.无偏性[定义]设为未知参数的估计量，若成立ˆE，则称为参数的无偏估计量.【注1】无偏估计的实际意义就是无系统偏差，即若对总体进行大量重复的抽样，那么所有这些得出的估计值的平均值收敛于.或者可以理解为“平均偏差为0”.当然“平均偏差为0”的估计优于平均偏差不为0的估计.例1.设为取自总体X的样本，2,EXDX，试证：样本均值X及样本方差2S分别是和2的无偏估计量.证：因为11111nniiiiEXEXEXnEXnnn，所以1niiXX是的无偏估计量.※｛又：222211111nniiiiDXDXDXnnnnn，而222222111111111nnniiiiiiESEXXEXnXEXnEXnnn22222211111niiiDXEXnDXEXnnnnn22111nn.所以，2S分别是2的无偏估计量.｝※例2.设总体2~,XN，123,,XXX为取自总体X的样本，则1123211ˆ5102XXX，2123111ˆ333XXX都是的无偏估计量.解：∵1123211211ˆ51025102EEXXX；∵2123111111ˆ333333EEXXX.∴它们都是的无偏估计量.二.有效性[定义]设1ˆ和2ˆ都是未知参数的无偏估计量，若12ˆˆDD，则称1ˆ比2ˆ有效.【注2】作为无偏估计量，它们的观察值都是在的真值左右摆动，而1ˆ比2ˆ有效指的是1ˆ的摆动幅度比2ˆ的摆动幅度更小些，因此有效性还有比较高的估计精度的含义.例3.比较上例中1ˆ及2ˆ的有效性解：由于211231231111111ˆ3339993DDXXXDXDXDX；2212312321141121ˆ510225100450DDXXXDXDXDX；有21ˆˆDD所以，2ˆ比1ˆ有效.三.一致性[定义]设为未知参数的估计量，若对任意0，ˆlim1nP成立，则称为未知参数的一致性估计量.【注3】一致性是一种大样本的性质，事实上，当n时，信息量越来越大，对的估计也应该越来越精确，ˆ应该与相差无几才合理.如果一致性不满足，估计量显然不是合的。可以证明：样本均值X及样本方差2S分别是和2的一致性估计量.第三节正态总体参数的区间估计用点估计来估计总体参数，估计值一般不是参数的真值.点估计没有给出估计的精确程度和可信程度，我们希望在一定可靠程度下，指出被估计的总体参数所在的一个数值范围，这就是区间估计。一.置信区间和置信度[定义]设总体X的概率密度为;fx，是未知参数，12,,,nXXX是来自总体X的样本，如果对于给定的01，若存在统计量12,,,nXXX和12,,,nXXX，使得1P，则称区间,为未知参数的置信度为的置信区间.称为置信度，和分别称为置信下限和置信上限。【注1】置信区间,是一个随机区间，对于不同的样本值会得到不同的区间，它可能包含的真值，也可能不包含的真值.当置信度为时，置信区间,包含真值的概率为1。可以这样理解：如果取0.05,10.95，若重复抽样100次得到了100个不同的区间，则其中大约有95个包含了真值，不包含真值的仅仅占5个。【注2】置信区间长度的大小是反映估计的精确程度的，而置信度是反映估计的可靠程度的.当样本容量给定后，很可惜这两者是一对矛盾，置信度高，则精确性相对就差，即：置信度越高，则置信区间的长度越长.置信区间和置信度提出了一个在一定的概率保证下，参数的估计满足一个精确度的概念，从这个角度来说，区间估计是统计意义上的近似计算和误差分析，所以在处理实际问题时更加有用。下面，我们讨论正态总体参数的区间估计。二.正态总体数学期望的区间估计1.正态总体2~,XN，其中2已知，求的置信区间.设12,,,nXXX是来自总体X的样本，于是由抽样分布定理知：统计量~0,1XUNn，对于给定的置信度1，查标准正态分布表，确定临界值2u，（注意：这里212u），使得221XPuun，即221PXuXunn，于是，得到均值的置信度为1的置信区间为：22,XuXunn.例1.某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X服从正态分布，从某天生产的产品中随机抽取6个，量得直径如下（单位：mm）：14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1，求的置信度0.9的置信区间和置信度0.99的置信区间。解：由于已知，所以选用的置信区间22,XuXunn。当，0.1，10.952，查表得2u=1.64；当，0.01，10.9952；查表得2u=2.576；代入数据得的置信度0.9的置信区间为，即为。的置信度0.99的置信区间为，即为。2.正态总体2~,XN，其中2未知，求的置信区间.由于2未知，所以用2的无偏估计量22111niiSXXn，引入统计量~1XTtnSn，对于给定的置信度1，查t分布表，确定临界值21tn，使得22111XPtntnSn，即，22111SSPXtnXtnnn于是，得到均值的置信度为1的置信区间为：221,1SSXtnXtnnn.例2.假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布，未知。为了合理的确定对该商品的进货量，需对作估计，为此随机抽取七个月，其销售量分别为：64，57，49，81，76，70，59，试求的置信度为0.95的置信区间.解：由于和都未知，故的置信区间为221,1SSXtnXtnnn代入数据得：20.02565.14,126.48,11.25,7,62.45,xSSnt所以，的置信度为0.95的置信区间为：11.2511.2565.142.45,65.142.457765.1410.42,65.1410.4254.72,75.56.三.正态总体方差的区间估计正态总体2~,XN，其中未知，求2的置信区间.引入统计量2221nS，于是由抽样分布定理知：22221~1nSn.对于给定的置信度1，查2分布表，确定临界值221221;1nn，使得22221221111nSPnn，即：2222212211111nSnSPnn，于是，得到2的置信度为1的置信区间为：222212211,11nSnSnn；从而标准差的置信度为1的置信区间为：222212211,11nSnSnn.例3.随机地取某种子弹9发作试验，测得子弹速度的11S，设子弹速度服从正态分布，求这种子弹速度的标准差和方差的置信度为0.95的置信区间。解：由于未知，故的置信度为1的置信区间为222212211,11nSnSnn，代入数据得29,121,nS，0.05,0.025,10.97522，220.02521817.54n，220.97512812.18n.所以，的置信度为0.95的置信区间为：81218121,17.542.1855.19,444.04；的置信度为0.95的置信区间为：55.19,444.047.43,21.07.