概率论与数理统计(经管类)第四章课后习题答案word档

习题4.11.设随机变量X的概率密度为(1)f(x)={2x,0≤x≤1,0,其他;(2)f(x)=12e−|x|,−∞𝑥+∞求E(X)解:(1)E(X)=∫xf(x)dx=+∞−∞∫x∙2xdx=2∙10x32|10=23(2)E(X)=∫xf(x)dx=∫x∙12e−|x|=+∞−∞+∞−∞02.设连续型随机变量X的分布函数为F(x)={0,x−1,a+b∙arcsinx,−1≤x1,1,x≥1.试确定常数a,b,并求E(X).解:(1)f(x)=F′(x)={b√1−x2,−1≤x10,其他∫f(x)dx=∫b√1−x2dx=1−1+∞−∞b∙arcsinx|1−1=𝐛𝛑=1,即b=1π又因当−1≤x1时F(X)=∫f(x)dx=∫1π∙1√1−x2dx=1π∙arcsinx|x−1x−1X−1=1π∙arcsinx+12,即a=12(2)E(X)=∫xf(x)dx=∫xπ∙1√1−x21−1+∞−∞=03.设轮船横向摇摆的随机振幅X的概率密度为f(x)={1σ2e−x22σ2,x0,0,x≤0.求E(X).解:E(X)=∫xf(x)dx=+∞−∞1σ2∫x∙e−x22σ2dx=+∞014.设X1,X2,…..Xn独立同分布,均值为μ,且设Y=1n∑Xini=1,求E(Y).解:E(Y)=E(1n∑Xini=1)=1nE(∑Xini=1)=1n∙nμ=μ5.设(X,Y)的概率密度为f(x,y)={e−y,0≤x≤1,y0,0,其他.求E(X+Y).解:E(X+Y)=∫∫(x+y)f(x,y)dxdy=+∞−∞+∞−∞∫∫(x+y)e−ydxdy=10+∞0∫12+∞0∙e−y+y∙e−ydy=32arcsinx的导数为1√1−x2arctanx的导数为1√1+x26.设随机变量X1,X2相互独立,且X1,X2的概率密度分别为f1(x)={2e−2x,x0,0,x≤0,f2(x)={3e−3x,x0,0,x≤0,求:(1)E(2X1+3X2);(2)E(2X1−3X22);(3)E(X1X2).解:(1)E(2X1+3X2)=2E(X1)+3E(X2)=2∗12+3∗13=2(2)E(2X1−3X22)==2E(X1)−3E(X22)=1−3∗∫x2+∞03e−3xdx=1−3∗[−∫x2+∞0d(e−3x)]=1−3∗[−x2∙e−3x|+∞0+∫e−3x+∞0dx2]=1−3∗[0+∫e−3x∙2x+∞0dx]=1−3∗[23∫e−3x∙3x+∞0dx]=1−3∗23∗13=13(3)E(X1X2)=E(X1)E(X2)=12∗13=167.已知二维随机变量(X,Y)的分布律为01210.10.20.120.30.10.2求E(X).解:E(X)=∑∑xipij=0∗0.1+0∗0.3+1∗0.2+1∗0.1+2∗0.1+2∗0.2=0.9ji8.设随机变量X的概率密度为f(x)={cxα,0≤x≤1,0,其他.且E(X)=0.75,求常数c和α.解:E(X)=∫xf(x)dx=∫x∙cxαdx=0.7510+∞−∞YX该题服从指数分布,故E(X)=1λ习题4.21.设离散型随机变量X的分布律为X-100.512P0.10.50.10.10.2求E(X),E(X2),D(X).解:E(X)=(−1)∗0.1+0∗0.5+0.5∗0.1+1∗0.1+2∗0.2=0.45E(X2)=(−1)2∗0.1+0∗0.5+(0.5)2∗0.1+12∗0.1+22∗0.2=1.025D(X)=(−1−0.45)2∗0.1+(0−0.45)2∗0.5+(0.5−0.45)2∗0.1+(1−0.45)2∗0.1+(2−0.45)2∗0.2=0.82252.盒中有5个球,其中有3个白球,2个黑球,从中任取两个球,求白球数X的期望和方差.解:X的可能取值为0,1,2P{X=0}=C22C52=0.1P{X=1}=C31∙C21C52=0.6P{X=2}=C32C52=0.3E(X)=0∗0.1+1∗0.6+2∗0.3=1.2D(X)=(0−1.2)2∗0.1+(1−1.2)2∗0.6+(2−1.2)2∗0.3=0.144+0.024+0.192=0.363.设随机变量X,Y相互独立,他们的概率密度分别为fX(x)={2e−2x,x0,0,x≤0,fY(y)={4,0𝑦≤14,0,其他,求D(X+Y).解:D(X+Y)=D(X)+D(Y)=122+(14−0)212=491924.设随机变量X的概率密度为fX(x)=12e−|x|,−∞𝑥+∞,求D(X)解:E(X)=∫x2e−|x|dx+∞−∞=0E(X2)=∫x22e−|x|+∞−∞dx=2∫x22e−x+∞−∞=∫x2e−x=2+∞−∞D(X)=E(X2)−[E(X)]2=25.设随机变量X与Y相互独立,且D(X)=1,D(Y)=2,求D(X-Y).解:D(X−Y)=D(X)+D(Y)=1+2=36.若连续型随机变量X的概率密度为f(x)={ax2+bx+c,0𝑥1,0,其他,且E(X)=0.5,D(X)=0.15.求常数a,b,c.解:P{X=k}=Cnkpkqn−k注意此处不可以用二项分布式:∫x2e−|x|dx+∞−∞此为奇函数,故=0∫x22e−|x|+∞−∞正负无穷带入结果都一样,故=2∫x22e−x+∞−∞E(X)=∫x(ax2+bx+c)10dx=a4+b3+c2=0.5E(X2)=∫x2(ax2+bx+c)10dx=a5+b4+c3=0.15+(0.5)2=0.4∫f(x)dx+∞−∞=∫(ax2+bx+c10)dx=a3+b2+c=1解得a=12,b=-12,c=3.习题4.31.设两个随机变量X,Y相互独立,方差分别为4和2,则随机变量3X-2Y的方差是D.A.8B.16C.28D.442.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={18(x+y),0≤x≤2,0≤y≤2,0,其他求Cov(X,Y).解:E(X)=∫[∫x8(x+y)dy2020]dx=∫(x28∙y+x8∙y22)|2020dx=76E(Y)=∫[∫y8(x+y)dx2020]dy=76E(XY)=∫[∫xy8(x+y)dy2020]dx=43Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=43−76∗76=−1363.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={ye−(x+y),x0,𝑦0,0,其他求X与Y的相关系数ρxy.解:E(X)=∫(∫xye−(x+y)dy+∞0+∞0)dx=1E(Y)=∫(∫y2e−(x+y)dx+∞0+∞0)dy∫(a+b+cx)dx+∞−∞=(a∙x+b∙x+c∙x22)|+∞−∞=∫(∫y2e−xe−ydx+∞0+∞0)dy=∫y2e−y+∞0dy=−∫y2+∞0d(e−y)=−y2e−y|+∞0+∫e−y+∞0d(y2)=0+∫e−y∙2y+∞0dy=2∫e−y∙y+∞0dy=2E(XY)=∫(∫xy2e−(x+y)dy+∞0+∞0)dx=2Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=2−2∗1=0所以ρxy=Cov(X,Y)√D(X)√D(Y)=04.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且E(X)=0,E(Y)=0,D(X)=16,D(Y)=25,Cov(X,Y)=12,求(X,Y)的联合概率密度函数f(x,y).解:f(x,y)=12πσ1σ2√1−ρ2e−12(1−ρ2){(x−μ1)2σ12−2ρ(x−μ1)(y−μ2)σ1σ2+(y−μ2)2σ22}∵E(X)=0,E(Y)=0∴μ1=0,μ2=0,∵D(X)=16,D(Y)=25∴σ1=4,σ2=5∵Cov(X,Y)=12∴ρ=Cov(X,Y)√D(X)√D(Y)=124∗5=35∴f(x,y)=132πe−2532(x216−3xy50+y225)运用分部积分法.∫e−y∙y+∞0dy服从λ=1的指数分布5.证明D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y).证:D(X−Y)=E[X−Y−E(X−Y)]2=E[(X−E(X))−(Y−E(Y))]2=E[(X−E(X))2]−2E[X−E(X)]∙E[Y−E(Y)]+E[(Y−E(Y))2]=D(X)+D(Y)−2Cov(X,Y)6.设(X,Y)的协方差矩阵为C=(4−3−39),求X与Y的相关系数ρxy.解:∵C=(4−3−39)∴Cov(X,Y)=−3,D(X)=4,D(Y)=9∴ρxy=Cov(X,Y)√D(X)√D(Y)=−32∗3=−12自测题4一、选择题1.设随机变量X服从参数为0.5的指数分布,则下列各项中正确的是B.A.E(X)=0.5,D(X)=0.25B.E(X)=2,D(X)=4C.E(X)=0.5,D(X)=4D.E(X)=2,D(X)=0.25解:指数分布的E(X)=1λ,D(X)=1λ22.设随机变量X,Y相互独立,且X~B(16,0.5),Y服从参数为9的泊松分布,则D(X-2Y+1)=C.A.-14B.13C.40D.41解:D(X)=npq=16∗0.5∗0.5=4,D(Y)=λ=9D(X−2Y+1)=D(X)+4D(Y)+D(1)=4+4∗9+0=403.已知D(X)=25,D(Y)=1,ρxy=0.4,则D(X-Y)=B.A.6B.22C.30D.464.设(X,Y)为二维连续随机变量,则X与Y不相关的充分必要条件是C.A.X与Y相互独立B.E(X+Y)=E(X)+E(Y)C.E(XY)=E(X)E(Y)D.(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,0)解:∵X与Y不相关∴ρxy=0,∴Cov(X,Y)=0∴E(XY)=E(X)E(Y)5.设二维随机变量(X,Y)~N(1,1,4,9,12),则Cov(X,Y)=B.A.12B.3C.18D.36解:∵ρxy=12=Cov(X,Y)√D(X)√D(Y)=Cov(X,Y)2∗3,∴Cov(X,Y)=36.已知随机变量X与Y相互独立,且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布,则E(XY)=A.A.3B.6C.10D.12解:∵X~U(−1,3),Y~U(2,4)∴E(X)=a+b2=−1+32=1,E(Y)=2+42=3E(XY)=E(X)E(Y)=1∗3=37.设二维随机变量(X,Y)~N(0,0,1,1,0),Ø(x)为标准正态分布函数,则下列结论中错误的是C.A.X与Y都服从N(0,1)正态分布B.X与Y相互独立C.Cov(X,Y)=1D.(X,Y)的分布函数是Φ(x)∙Φ(y)二、填空题1.若二维随机变量(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,0),且X与Y相互独立,则ρ=0.解:∵Cov(X,Y)=02.设随机变量X的分布律为3.X-1012P0.10.20.30.4令Y=2X+1,则E(Y)=3.解:E(2X+1)=(2*-1+1)*0.1+(2*0+1)*0.2+(2*1+1)*0.3+(2*2+1)*0.4=33.已知随机变量X服从泊松分布,且D(X)=1,则P{X=1}=e−1.解:∵D(X)=λ=1∴P{X=1}=λ1e−λ1!=e−14.设随机变量X与Y相互独立,且D(X)=D(Y)=1,则D(X-Y)=2.5.已知随机变量X服从参数为2的泊松分布,E(X2)=6.解:∵E(X)=λ=2,D(X)=λ=2,∴E(X2)=E2(X)+D(X)=4+2=66.设X为随机变量,且E(X)=2,D(X)=4,则E(X2)=8.7.已知随机变量X的分布函数为F(x)={0,x0x4,0≤x41,x≥4则E(X)=2.解:f(x)=F′′′(x)={14,0≤x40,其他E(X)=∫x440dx=08.设随机变量X与Y相互独立,且D(X)=2,D(Y)=1,则D(X-2Y+3)=6.三、设随机变量X的概率密度函数为f(x)={32x2,−1≤x≤1,0,其他试求:(1)E(X),D(X);(2)P{|X−E(X)|2𝐷(𝑋)}.