概率论与数理统计-阶段练习1--参考答案

例1在管理系学生中任选一名学生,令事件A表示选出的是男生,事件B表示选出的是三年级学生,事件C表示该生是运动员.(1)叙述事件CAB的意义;(2)在什么条件下CABC成立?(3)什么条件下BC?(4)什么条件下BA成立?解(1)CAB是指当选的学生是三年级男生,但不是运动员.(2)只有在,ABC即BCAC,同时成立的条件下才有CABC成立,即只有在全部运动员都是男生,且全部运动员都有是三年级学生的条件下才有CABC.(3)BC表示全部运动员都是三年级学生,也就是说,若当选的学生是运动员,那么一定是三年级学生,即在除三年级学生之外其它年级没有运动员当选的条件下才有.BC(4)BA表示当选的女生一定是三年级学生,且AB表示当选的三年级学生一定是女生.换句话说,若选女生,只能在三年级学生中选举,同时若选三年级学生只有女生中选举.在这样的条件下,BA成立.例2考察某一位同学在一次数学考试中的成绩,分别用A,B,C,D,P,F表示下列各事件(括号中表示成绩所处的范围):]),100,90([优秀A)),90,80([良好B)),80,70([中等C)),70,60([及格D]),100,60([通过P)),60,0([未通过F则FDCBA,,,,是两两不相容事件P与F是互为对立事件，即有;FPDCBA,,,均为P的子事件，且有.DCBAP例4指出下列各等式命题是否成立,并说明理由:(1)BBABA)(;(2)BABA;(3)CABCBA;(4)))((BAAB.解(1)成立.BBA)()()(BBBA(分配律)SBA)(.BA(2)不成立.若A发生,则必有BA发生,A发生,必有A不发生,从而BA不发生,故BABA不成立.(3)不成立.若CBA发生,即C发生且BA发生,即必然有C发生.由于C发生,故C必然不发生,从而CBA不发生,故(3)不成立.(4)成立.例5化簡下列事件：(1));)((BABA(2).BABABA解(1)))((BABA)]([)]([BABBAA(分配律))()(BBABBAAA)()](ABBAA(因ABA)ABA.A(2)BABABABABABABABABABABA(交换律))()(BABABABA(结合律))()(BBABAA.ABAB(对偶律)课堂练习1设当事件A与B同时发生时C也发生,则().(A)BA是C的子事件;(B);ABC或;CBA(C)AB是C的子事件;(D)C是AB的子事件.2.设事件A{甲种产品畅销,乙种产品滞销},则A的对立事件为().(A)甲种产品滞销,乙种产品畅销;(B)甲种产品滞销;(C)甲、乙两种产品均畅销;(D)甲种产品滞销或者乙种产品畅销.6、观察某地区未来5天的天气情况,记iA为事件:“有i天不下雨”,已知),()(0AiPAPi.5,4,3,2,1i求下列各事件的概率:(1)天均下雨;(2)至少一天不下雨;(2)至少一天不下雨;解显然510,,AAA是两两不相容事件且,50SAii故iiAPSP50)(150)(iiAP5100)()(iAiPAP)(160AP于是,161)(0AP,16)(iAPi,5,4,3,2,1i记(1),(2),(3)中三个事件分别为,,,CBA则(1))(AP)(0AP,161(2))(BPiiAP51)(10AP,1615(3))(CPiiAP3030)(iiAP.1677.设,AB,6.0)(AP8.0)(BAP,求事件B的逆事件的概率.8.设,4.0)(AP,3.0)(BP,6.0)(BAP求)(BAP.9.设BA,都出现的概率与BA,都不出现的概率相等,且pAP)(,求)(BP.10、设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解以)3,2,1(iAi表示事件“透镜第i次落下打破”,B表示事件“透镜落下三次而未打破”.为,321AAAB故有)(BP)(321AAAP)|()|()(213121AAAPAAPAP10911071211.200311、已知,3.0)(AP4.0)(BP，,5.0)|(BAP试求).|(),|(BABAPBABP解由乘法公式,)(ABP)()|(BPBAP4.05.0,2.0因此)|(ABP)()(APABP3.02.0,32又因为,BAB所以,)(BBAB从而)|(BABP)())((BAPBABP)()()()(ABPBPAPBP2.04.03.04.0,54)|(BABAP)|(BAABP)|(1BAABP)()(1BAPABP5.02.01.5312、一袋中装有10个球,其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球（不放回），求第二次取到的是黑球的概率.解这一概率,我们前面在古典概型中已计算过,这里我们用一种新的方法来计算.将事件“第二次取到的是黑球”根据第一次取球的情况分解成两个互不相容的部分,分别计算其概率,再求和.记,AB为事件“第一、二次取到的是黑球”,则有)(BP)()(BAPABP)|()()|()(ABPAPABPAP由题设易知,103)(AP,107)(AP,92)|(ABP,93)|(ABP于是)(BP9310792103.10313、某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06,乙厂每箱装120个,废品率为0.05,求:(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；(2)若将所有产品开箱混放,求任取一个为废品的概率.解记事件、AB分别为甲、乙两厂的产品,C为废品,则(1))(AP5030,53)(BP5020,52,06.0)|(ACP05.0)|(BCP由全概率公式,得)(CP)|()()|()(BCPBPACPAP056.0(2))(AP120201003010030,95)(BP120201003012020,94,06.0)|(ACP05.0)|(BCP由全概率公式,得)(CP)|()()|()(BCPBPACPAP.056.014、某种小树移栽后的成活率为90%,一居民小区移栽了20棵,求能成活18的概率.解观察一棵小树是否成活是随机试验,E每棵小树只有“成活”)(A或“没成活”)(A两种可能结果,且.9.0)(AP可以认为,小树成活与否是彼此独立的,因此观察20棵小树是否成活可以看成是9.0P的20重伯努利试验.设所求概率为),(BP则由伯努利公式可得.285.01.09.0)(2181820CBP15.一个袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，每次从中随意取出一球，取后放回.（1）如果共取10次，求10次中能取到黑球的概率及10次中恰好取到3次黑球的概率.（2）如果未取到黑球就一直去下去，直到取到黑球为止，求恰好要取3次黑球的概率.解记iA为事件“第i次取到的是黑球”,则,2,1,10/3)(iAPi(1)记B为事件“10次中能取到黑球”,kB为事件“10次中恰好取到k次黑球”),10,1,0(K则有,)10/7(1)(1)(1)(100BPBPBP(2)记C为“恰好要取3次”,D为“至少要取3次”,则),10/3()10/7()(2CP.)10/7()()()()(22121APAPAAPDP