概率论与数理统计_第四版_第五章

第五章大数定律及中心极限定理1．据，某种电器元１００h的指数分布，现随．求这１６只元机地取１６只，设它１９２０h的概率．解Xi（i＝１，２，…，１６）记第i只元，T记１６只元１６总和：T＝钞Xi，按题设E（Xi）＝１００，D（Xi）＝１００２，由中心极限定理知i＝１T－１６×１００近N（０，１）分布，故所求概率为２１６１００P｛T＞１９２０｝＝１－P｛T≤１９２０｝T－１６×１００≤１９２０－１６×２１００１００＝１－P２１６１００１６≈１－Ф１９２０－１６００＝１－Ф（０．８）４００＝１－０畅７８８１＝０畅２１１９．2．（１）一保险公司有１００００个汽车投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为２８０，８００，求索赔总金额超过２７０００００．（２）一公司有５０张签约保险单，各张保险单的索赔金额为Xi，i＝１，２，…，５０（）服从韦布（Weibull）分布，均值E（Xi）＝５，方差D（Xi）＝６，求５０张保险单索赔的合计金额大于３００的概率（设各保险单索赔金额是相互独立的）．解（１）记第i人的索赔金额为X，则由已知条iE（Xi）＝２８０，D（X）＝８００．２i要计算１００００p１＝P钞Xi＞２７０００００，i＝１因各投保人索赔金额是独立的，n＝１００００很大．故由中心极限定理，近１００００２—X＝１１００００８００N２８０，１００钞i＝１X～，i２—P（X＞２７０）≈１－Φ２７０－２８０８５４故p１＝１－Φ－＝５＝Φ＝Φ（１畅２５）＝０畅８９４４．４118概率论与数理（２）E（Xi）＝５，D（Xi）＝６，n＝５０．故５０p＝P钞Xi＞３００≈１－Φ３００－５０×５i＝１５０×６５０＝１－Φ＝１－Φ（２畅８９）＝０畅００１９．３００这与情况（１）相反．（１）的概率为０畅８９４４表明可能性很大．而（２）表明可能性太，大约５００次索赔中出现＞３００的只有一次．3．计算器在进行加法时，，设所有舍入误差相互独立且在（－０畅５，０畅５）上服从均匀分布．（１）１５００个数相加，问误差总和的（２）最多可有几个数相加０畅９０？１５的概率是多？１０的概率不解设第k个加数的舍入误差为Xk（k＝１，２，…，１５００），已知X在k（－０畅５，０畅５）上服从均匀分布，故知E（Xk）＝０，D（Xk）＝１．１２１５００（１）记X＝X，由中心极限定理，当n充分大时有近k钞k＝１１５００钞k＝１X－１５００×０kP≤xΦ（x）．≈１５００１１２于是P｛X＞１５｝＝１－P｛X≤１５｝＝１－P｛－１５≤X≤１５｝≤－１５－０X－０１５－０１５００１１２＝１－P≤１５００１１２１５００１１２１５－１５≈１－Φ－Φ１５００１１２１５００１１２１５＝１－２Φ－１＝１－［２Φ（１畅３４２）－１］１５００１２＝２［１－０畅９０９９］＝０畅１８０２．即误差总和的１５的概率近０畅１８０２．n（２）设最多有n个数相加，Y＝X符合要求，即要确定n，k钞k＝１P｛Y＜１０｝≥０畅９０．由中心极限定理，当n充分大时有近Y－１１２０PxΦ（x）．≈≤n第五章大数定律及中心极限定理119于是P｛Y＜１０｝＝P｛－１０＜Y＜１０｝＜－１０１１２Y１０P＝＜nn１１２n１１２１０－１０１０≈Φ－Φ＝２Φ－１．n１２n１２n１２１０因而n需满足２Φ－１≥０．９０，n／１２１０n／１２亦即n需满足Φ≥０畅９５＝Φ（１畅６４５），１０即n应满足≥１畅６４５，n／１２由此得n≤４４３畅４５．因n为正整数，因而所求的n为４４３．故最多只能有４４３个数加在一起，才能１０的概率不０畅９０．，它学期望为０畅５kg，均方差为０畅１kg，问５０００个零误差总和的4．设各零，且服从相同的分布，其数２５１０kg的概率是多？解Xi（i＝１，２，…，５０００）记第i个零，W记５０００个零５０００的总重量：W＝钞Xi．按题设E（Xi）＝０．５，D（Xi）＝０畅１２，由中心极限定理，可i＝１知W－５０００×０畅５近５０００×０畅１N（０，１）分布，故所求概率为P｛W＞２５１０｝＝１－P｛W≤２５１０｝W－５０００×０畅５≤２５１０－５０００×０畅５＝１－P５０００×０畅１５０００×０畅１≈１－Ф２５１０－５０００×０畅５＝１－Ф（２）５０００×０畅１＝１－０畅９２１３＝０畅０７８７畅5．有一批建筑房，其中８０％的长度不３m，现从这批木３０３m的概率．中随机地取１００，求其中至解按题意，可认为１００，因而可３m看成是一次试验，X记被抽取的１００当．１００１００重．３m的，则X～b（１００，０畅２）．于是由教材第五章§２定理三得P｛X≥３０｝＝P｛３０≤X＜∞｝