概率论与数理统计参考答案(2012A)

概率论与数理统计A(2012)参考答案一.、单项选择题。错选、多选或未选均不得分。（每小题3分，共21分）1、D2、B3、C4、B5、A6、B7、B二.、填空题（每小题3分，共21分）1.0.52.0.63.14.0.55.456.___17.__(51.04,54.96)三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）1.现在两箱同类型的产品，第一箱装50件，其中有10件一等品；第二箱装30件，其中有18件一等品。现在两箱中任取一箱，然后从该箱中任取一件。试求下列事件的概率：（1）取到的产品是一等品；（2）若已知取到的产品是一等品，则该产品来自第一个箱子的概率是多少？解：设(1,2)iAi表示产品来自第i个箱子。B：一等品由已知，121()()2PAPA，1213(|),(|)55PBAPBA（2分）（1）1122()()(|)()(|)0.4PBPAPBAPAPBA（3分）（2）111()(|)1(|)()4PAPBAPABPB（3分）2.设随机变量X的概率密度函数为01()0baxxfx其他，其中0,0ab，且10.752PX。试求：（1）常数a和b；（2）分布函数()Fx；（3）数学期望2()EX。解：（1）10()11bafxdxaxdxb，110.50.51()(10.5)0.7521bbaPXfxdxaxdxb所以，2,1ab（3分）（2）200()()0111xxFxftdtxxx（3分）（3）221()()2EXxfxdx。（2分）四、综合题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1.设总体X服从正态分布2(12,2)N，从中抽出容量为16的简单随机样本，求样本均值与总体均值之差大于0.75的概率。((1)0.8413,(1.5)0.9332,(2)0.9772)解：X服从正态分布2(12,2)N，则，2(12)/XXn服从正态分布(0,1)N（3分）所以，120.752(12)1.51(1.5)PXPX（4分）0.0668（1分）2.设随机变量(,)XY的概率密度函数为01,02(,)0xyxyfxy其他。（1）判断随机变量,XY是否相互独立；（2）求()EXY。解：（1）201()(,)0Xxxfxfxydy其他102()(,)20Yyyfyfxydx其他（4分）因为()()(,)XYfxfyfxy。所以随机变量,XY相互独立；（1分）（2）()()()EXYEXEY120012422233xxdxyydy。（3分）3.设总体X的概率密度为21201(;)0xxfx其他，其中未知参数0，12,,,nXXX为来自总体X的一个样本。求的极大似然估计。解：似然函数：2121111()(,)2(2)nnnniiiiiiLfxxx（3分）取对数得：1ln()ln(2)(21)lnniiLnx两边求导，得1ln()2lnniidnLxd，令1ln()2ln0niidnLxd（3分）解得：的极大似然估计12lnniinx。（2分）五、应用题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）1.某测距机在500m范围内，测距精度为10m，今对距离为500m的目标测量9次，得到平均距离为506Xm，问该测距机是否存在系统误差？给定的显著水平0.05。如果0.1，结论又如何？0.0250.05(1.96,1.645)uu解：假设检验：0010:500,:HH（2分）由于方差2已知，用U检验，检验统计量0(0,1)/XUNn拒绝域为/2||Uu（2分）由已知2506,100,9,xn0.05，计算统计值05065001.8/10/9xun，/20.0251.96uu统计判断：/2||1.8uu，不在拒绝域内，故接受0H（3分）如果0.1，则/20.051.645uu，/2||1.8uu，在拒绝域内，故拒绝0H。（2分）2.按季节出售的某种应时商品，每售出1kg获利6元，如果到季末尚有剩余商品，则每1kg净亏损2元，设某商店在季节内这种商品的销售量X（以kg计）是一个随机变量，X在区间(8,16)内服从均匀分布，为使商店所获平均利利润最大，问商店应该进多少货？解设t表示进货量，易知816t，设当进货为t时，所得利润为()tWX，则62()8,()()616()tXtXXtWXttX有积压无积压，（3分）X的概率密度为1/8816()0xfx其他，利润为()tWX是一个随机变量，平均利润为162811()()()()143282tttEWXWtfxdxWxdxtt（3分）令()140tdWXtdt，得14t。22()10tdWXdt，所以，当14t时，可使平均利润最大。（3分）