概率论与数理统计复习题答案

第页1《概率论与数理统计》期（末）练习卷答案一、填空题(每空2分,共30分)1.设A、B、C为三事件，则事件“A发生B与C都不发生”可表示为_____________;事件“A、B、C不都发生”可表示为_______________；事件“A、B、C都不发生”可表示为______________。（CBA；CBA;CBA）2.100件产品中有10件次品，任取5件恰有3件次品的概率为________________（只写算式）。（5100290310CCC）3.已知随机变量X的分布函数为3,132,5.021,4.01,0xxxxxF，则P(X=1)=__，P(X=2.5)=__。解：F(x)的跳跃点分别是1，2，3，对应的跳跃高度为0.4，0.1，0.5。故其分布律为X123p0.40.10.5∴P(X=1)=0.4,P(X=2.5)=04.设3,1~NX，则X的函数Y=~N(0,1)。（31X）5.设二维随机变量YX,的联合分布律为121,jiyYxXP，;3,2,1i4,3,2,1j，则1xXP__________。解：第页2YX1y2y3y4y1x121121121121312x1211211211213x121121121121∴1xXP316.已知5.1EX，62EX，则_______2XE，_______)(XD，______2XD。解：35.1*2)(2)2(XEXE75.35.16)()()(222EXXEXD1575.3*4)(4)2(XDXD7.在假设检验中若原假设0H实际为真时却拒绝0H，称这类错误为。弃真（第一类错误）8.设随机变量pnbX,~，且4.2EX，44.1DX，则________n；__________p；________0XP。解：64.06.044.1)(4.2)(npqnpqXDnpXE66.00xp二、解答题（共70分）1.（8分）将两信息分别编码为A和B传送出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为02.0，而B被误收作A的概率为01.0。信息A与信息B传送的频率程度为1:2。1）若接受站收到一信息，是A的概率是多少？2）若接受站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？解：设1A，2A分别表示发出A，B；1B，2B分别表示收到A，B，则第页31）2121111ABPAPABPAPBP01.03198.0326567.02）9949.01971966567.098.032111111BPABPAPBAP2.（8分）设X是连续型随机变量，已知X的密度函数为000x,x,Ae)x(fx，其中为正常数。试求(1)常数A。(2)X的分布函数)x(F。解：（1）由10)(00AdxAedxdxxfx得A-（2）xdxxfxF)()(当0x时，00)(xdxxF当0x时，xxxxedxedxdxxfxF10)()(00所以0001)(xxexFx3.（10分）二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为其他,00,10,1,xyxyAyyxf（1）试确定常数A；（2）求关于X和Y的边缘密度函数；（3）判断X和Y是否相互独立。解：(1)由dyyAydxdxdyyxfx0101,112321032AdxxAxA得：12A(2)其他其他,010,46010)1(12,320xxxxdyyydyyxfxfxX第页4其他其他010)1(12010)1(12),()(21yyyydxyydxyxfyfyY(3)yfxfyxfYX,所以X与Y不相互独立。4.（8分）某车间有200台车床，每台车床有60%的时间在开动，每台车床开动期间的耗电量为E千瓦，问至少应供应给此车间多少电量才能以99.9%的概率保证此车间不因供电不足而影响生产？解：设至少需供给nE千瓦电量，设X为同时开动的车床数，则)6.0,200(~BX484.06.0200)1(,1206.0200pnpnp由999.0}{nXP，得999.0}4812048120{nXP即01.348120999.0)48120(nn，所以141n。5.(10分)设nXXX,,,21为总体的一个样本，总体X的概率密度函数为其他,010,1xxxf，其中0为未知参数。求：（1）的矩估计量；（2）的极大似然估计量。解：(1)1110110xdxxdxxxfXE）（，令1)(XE解出得：1将Xˆ代入得的矩估计量为：XX1ˆ(2)似然函数为niixfL1)()(=11)(niinxniix11第页5niixnL1ln1lnln令0lnln1niixndLd解得的极大似然估计量为：niixn1lnˆ6.（10分）为了解灯泡使用时数的均值及标准差，测量10个灯泡，得hShx20,1500．如果已知灯泡的使用时数服从正态分布，求和的95%的置信区间．解:(1)这是一个未知方差求的置信度为0.95的置信区间的问题．由已知,05.0,95.01n=10,20,1500Sx.查表得262.2)9()1(025.02tnt．因此，的95%置信区间为3074.1514,6926.14853074.141500,3074.141500/)1(,/)1(22nSntxnSntx(2)这是一个求的置信度为0.95的置信区间的问题．查表得)9()1(2025.022n19.023，70.2)9()1(2975.0221n．2的95%置信区间为]3333.1333,2446.189[700.2209,023.19209)1()1(,)1()1(222222212nSnnSn．开方后得到的置信区间为［13.7566，36.5148］。7.（10分）某校进行教学改革，一学科学生成绩X服从正态分布，2,均未知。现抽nSnt)1(210202622.23074.14第页6测19人的成绩如下：70806786619692876251819976869379816247问是否有理由认为该科的平均成绩大于对照组的平均成绩70？（05.0）解：检验0H：700；1H：0选取统计量：nSXt0由题意条件得：19n，6316.76X，S=15.023,05.07341.11805.0t拒绝域：从而9242.10nSXt1.7341故拒绝0H，即认为该科的平均成绩大于对照组的平均成绩70。}7341.1{tW