概率论与数理统计期末试卷及答案

一、选择题(本大题分5小题,每小题4分,共20分)(1)设A、B互不相容，且P(A)0，P(B)0，则必有()(A)0)(ABP(B))()(APBAP(C)0)(BAP(D))()()(BPAPABP(2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（）3311()()()()328168ABCD(3)),4,(~2NX),5,(~2NY}5{},4{21YPpXPp，则()(A)对任意实数21,pp（B）对任意实数21,pp(C)只对的个别值，才有21pp（D）对任意实数，都有21pp(4)设随机变量X的密度函数为)(xf，且),()(xfxf)(xF是X的分布函数，则对任意实数a成立的是()（A）adxxfaF0)(1)(（B）adxxfaF0)(21)(（C）)()(aFaF（D）1)(2)(aFaF(5)已知1250,,,XXXL为来自总体2,4XN:的样本，记5011,50iiXX则50211()4iiXX服从分布为()（A）4(2,)50N(B)2(,4)50N（C）250(D)249二、填空题(本大题5小题,每小题4分,共20分)(1)4.0)(AP,3.0)(BP,4.0)(BAP,则___________)(BAP(2)设随机变量X有密度其它010,4)(3xxxf,则使)()(aXPaXP的常数a=(3)设随机变量),2(~2NX，若3.0}40{XP,则}0{XP(4)设2211xxfxe，则EX=,DX=(5)设总体~(,9)XN，已知样本容量为25，样本均值xm；记0.1ua，0.05ub；0.124tc，0.125td；0.0524tl，0.0525tk，则的置信度为0.9的置信区间为三、解答题（共60分）1、(10分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求：(1)全厂产品的次品率(2)若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少？2、(10分)设X与Y两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为.,0;10,1)(其它xxfX.0,0;0,)(yyeyfyY求:随机变量YXZ的概率密度函数.3、(10分)设随机变量X服从参数2的指数分布，证明：21XYe服从0,1上的均匀分布。4、(8分)设某次考试考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得66.5,X样本标准差为15，问在0.05时，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?5、(10分)在抽样检查某种产品的质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品。设产品的次品率为10﹪，问至少应抽查多少个产品进行检查，才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9？（..12909）6、(12分)设(X,Y)服从二维正态分布，X~N(1,9)，Y~N(0,16)，12XY，设32XYZ，求(1)EZ,DZ(2)XZ(3)X与Z是否相关？标准答案一、选择题（5×4分）题号12345答案CBABD二、填空题（5×4分）1、0.12、4213、0.354、11,2EXDX5、33(,)55mbmb或0.050.0533(,)55mumu三、解答题（60分）1、解：A=“生产的产品是次品”，B1=“产品是甲厂生产的”，B2=“产品是乙厂生产的”，B3=“产品是丙厂生产的”，易见的一个划分是321,,BBB(1)由全概率公式，得.0345.0%2%40%4%35%5%25)()()()(3131iiiiiBAPBPABPAP(2)由Bayes公式有：111()()25%5%25()()0.034569PABPBPBAPA2、因为X与Y相互独立，所以dxxzfxfzfYXZ)()()(当0z时，;0)()()(dxxzfxfzfYXZ当10z时，;1)()()(0)(zzxzYXZedxedxxzfxfzf当1z时，);1()()()(10)(eedxedxxzfxfzfzxzYXZ所以;1)1(10100)()()(zeezezdxxzfxfzfzzYXZ3、2ln(1)()12XYyFyPYyPeyPXln(1)220,0,2(01),1,1.yxyedxyyy1,(01)()()0,，其他。YYyfyFy4、H0:=0=70①由于2未知，则令0~(1)XttnSn②由2||1,Pttn查表得t的临界值==0.02521352.0301,tnt则拒绝域为2.0301cItt，由条件计算出0066.5701.41536XtSn，由于01.42.0301,t所以接受0t，即可以认为考生平均成绩为70分。5、设应抽查n件产品，其中次品数为Y，则Y～B(n，0.1),其中.,().011009EYnpnDYnppn，由二项分布的中心极限定理，得...{}...1001010110009009009nYnnnPYnPnnn100.1(3)()0.3nnn100.11()0.3nn，要使100.11()0.90.3nn，即0.110()0.90.3nn，查表得...011012903nn，解得147n，即至少要抽查147件产品才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9。6、(1)()32XYEZE1132EXEY11103213()32XYDZD()()2cov(,)3232XYXYDD119162cov(,)9432XY52cov(,)32XY，而1cov(,)cov,326XYXY16XYDXDY11()3462152(1)3DZcov,(2)XZXZDXDZ，而cov,cov(,)32XYXZX11cov(,)co(,32v)XXXY1132DX()619303，0XZ(3)0XZQ，所以X与Z不相关。