概率论与数理统计浙大四版习题答案第三章

30第三章多维随机变量及其分布1.[一]在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品,1,,0X若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品,1,,0Y试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。解：（1）放回抽样情况由于每次取物是独立的。由独立性定义知。P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)P(X=0,Y=0)=362512101210P(X=0,Y=1)=3651221210P(X=1,Y=0)=3651210122P(X=1,Y=1)=361122122或写成XY01036253651365361（2）不放回抽样的情况P{X=0,Y=0}=66451191210P{X=0,Y=1}=6610112121031P{X=1,Y=0}=66101110122P{X=1,Y=1}=661111122或写成XY01066456610166106613.[二]盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。XY012300035335210356351235223513563530解：（X，Y）的可能取值为(i,j)，i=0，1，2，3，j=0，12，i+j≥2，联合分布律为P{X=0,Y=2}=351472222CCCP{X=1,Y=1}=35647221213CCCCP{X=1,Y=2}=35647122213CCCCP{X=2,Y=0}=353472223CCCP{X=2,Y=1}=351247121223CCCC32P{X=2,Y=2}=353472223CCCP{X=3,Y=0}=352471233CCCP{X=3,Y=1}=352471233CCCP{X=3,Y=2}=05.[三]设随机变量（X，Y）概率密度为其它,042,20),6(),(yxyxkyxf（1）确定常数k。（2）求P{X1,Y3}（3）求P(X1.5}（4）求P(X+Y≤4}分析：利用P{(X,Y)∈G}=oDGGdydxyxfdydxyxf),(),(再化为累次积分，其中42,20),(yxyxDo解：（1）∵2012)6(),(1dydxyxkdydxyxf，∴81k（2）83)6(81)3,1(3210dyyxdxYXP（3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10dyyxdxYXPXP（4）32)6(81)4(4020dyyxdxYXPx6．（1）求第1题中的随机变量（X、Y）的边缘分布律。（2）求第2题中的随机变量（X、Y）的边缘分布律。解：（1）①放回抽样（第1题）XY01036253651365361xox+y=42y133边缘分布律为X01Y01Pi·6561P·j6561②不放回抽样（第1题）XY0106645661016610661边缘分布为X01Y01Pi·6561P·j6561（2）（X，Y）的联合分布律如下解：X的边缘分布律Y的边缘分布律X0123Y13Pi·81838381P·j86827.[五]设二维随机变量（X，Y）的概率密度为其它求边缘概率密度0.0,10)2(8.4),(xyxxyyxf解：其它010)2(4.2)2(8.4),()(02xxxdyxydyyxfxfxX其它010)43(4.2)2(8.4),()(12yyyydxxydxyxfyfyY8.[六]设二维随机变量（X，Y）的概率密度为XY01230083830381008134.,00,),(其它yxeyxfy求边缘概率密度。解:0,00,),()(xxedyedyyxfxfxxyX,0,0,0,),()(0yyyedxedxyxfyfyyyY9.[七]设二维随机变量（X，Y）的概率密度为其它,01,),(22yxycxyxf（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。解:l=42121432),(1025210ccdyycydxcxdydxdyyxfyy其它,011),1(821421)(~42122xxxydyxxfXxX其它01027421)(~252yyydxdyfYyyY15.第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。解：放回抽样的情况P{X=0,Y=0}=P{X=0}·P{Y=0}=3625P{X=0,Y=1}=P{X=0}P{Y=1}=365P{X=1,Y=0}=P{X=1}P{Y=0}=365P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1}=361在放回抽样的情况下，X和Y是独立的不放回抽样的情况：P{X=0,Y=0}=66451191210xox=yyxoyy=x235P{X=0}=651210P{X=0}=P{X=0,Y=0}+P{Y=0,X=1}=6511101121191210P{X=0}·P{Y=0}=36256565P{X=0,Y=0}≠P{X=0}P{Y=0}∴X和Y不独立16.[十四]设X，Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布。Y的概率密度为.0,00,21)(2yyeyfyY（1）求X和Y的联合密度。（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。解：（1）X的概率密度为其它,0)1,0(,1)(xxfXY的概率密度为.0,00,21)(2yyeyfyY且知X,Y相互独立，于是（X，Y）的联合密度为其它00,1021)()(),(2yxeyfxfyxfyYX（2）由于a有实跟根，从而判别式0442YX即：2XY记}0,10|),{(2xyxyxDdxededxdyedxdxdyyxfXYPxxyyDx101020221002222121),()(1y=x2xoyD361445.08555.013413.05066312.21)5.08413.0(21))2()1((2121210022dxex19.[十八]设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为000,)(tttetft并设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周（2）三周的需要量的概率密度。解：（1）设第一周需要量为X，它是随机变量设第二周需要量为Y，它是随机变量且为同分布，其分布密度为000,)(tttetftZ=X+Y表示两周需要的商品量，由X和Y的独立性可知：其它00,0),(yxyexeyxfyx∵z≥0∴当z0时，fz(z)=0当z0时，由和的概率公式知zyzyzyxzezdyyeeyzdyyfyzfzf6)()()()(30)(∴000,6)(3zzezzfzz（2）设z表示前两周需要量，其概率密度为000,6)(3zzezzfzz设ξ表示第三周需要量，其概率密度为：37000,)(xxxexfxξz与ξ相互独立η=z+ξ表示前三周需要量则：∵η≥0，∴当u0，fη(u)=0当u0时uyuyuξηeudyyeeyudyyfyufuf120)(61)()()(50)(3所以η的概率密度为000120)(5uueuufuη22.[二十二]设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。解：设X1，X2，X3，X4为4只电子管的寿命，它们相互独立，同分布，其概率密度为：22202)160(2021)(tTeπtf8413.0)2060180(2120160202)160(20121)180(}180{12180222查表令dueutdttFXfuX设N=min{X1，X2，X3，X4}P{N180}=P{X1180,X2180,X3180,X4180}=P{X180}4={1－p[X180]}4=(0.1587)4=0.0006327.[二十八]设随机变量（X，Y）的分布律为38XY012345012300.010.010.010.010.020.030.020.030.040.050.040.050.050.050.060.070.060.050.060.090.080.060.05（1）求P{X=2|Y=2}，P{Y=3|X=0}（2）求V=max(X,Y)的分布律（3）求U=min(X,Y)的分布律解：（1）由条件概率公式P{X=2|Y=2}=}2{}2,2{YPYXP=08.005.005.005.003.001.005.0=2.025.005.0同理P{Y=3|X=0}=31（2）变量V=max{X,Y}显然V是一随机变量，其取值为V：012345P{V=0}=P{X=0Y=0}=0P{V=1}=P{X=1，Y=0}+P{X=1，Y=1}+P{X=0，Y=1}=0.01+0.02+0.01=0.04P{V=2}=P{X=2，Y=0}+P{X=2，Y=1}+P{X=2，Y=2}+P{Y=2,X=0}+P{Y=2,X=1}=0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16P{V=3}=P{X=3，Y=0}+P{X=3，Y=1}+P{X=3，Y=2}+P{X=3，Y=3}+P{Y=3,X=0}+P{Y=3,X=1}+P{Y=3,X=2}=0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.2839P{V=4}=P{X=4，Y=0}+P{X=4，Y=1}+P{X=4，Y=2}+P{X=4，Y=3}=0.07+0.06+0.05+0.06=0.24P{V=5}=P{X=5，Y=0}+……+P{X=5，Y=3}=0.09+0.08+0.06+0.05=0.28（3）显然U的取值为0，1，2，3P{U=0}=P{X=0，Y=0}+……+P{X=0，Y=3}+P{Y=0，X=1}+……+P{Y=0，X=5}=0.28同理P{U=1}=0.30P{U=2}=0.25P{U=3}=0.17或缩写成表格形式（2）V012345Pk00.040.160.280.240.28（3）U0123Pk0.280.300.250.17（4）W=V+U显然W的取值为0，1，……8P{W=0}=P{V=0U=0}=0P{W=1}=P{V=0,U=1}+P{V=1U=0}∵V=max{X，Y}=0又U=min{X，Y}=1不可能上式中的P{V=0，U=1}=0，又P{V=1U=0}=P{X=1Y=0}+P{X=0Y=1}=0.2故P{W=1}=P{V=0,U=1}+P{V=1，U=0}=0.2P{W=2}=P{V+U=2}=P{V=2,U=0}+P{V=1，U=1}=P{X=2Y=0}+P{X=0Y=2}+P{X=1Y=1}=0.03+0.01+0.02=0.06P{W=3}=P{V+U=3}=P{V=3,U=0}+P{V=2，U=1}=P{X=3Y=0}+P{X=0，Y=3}+P{X=2，Y=1}+P