概率论与数理统计浙大四版习题答案第八章

68第八章假设检验1.[一]某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.253.273.243.263.24。设测定值总体服从正态分布，问在α=0.01下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值为3.25.解：设测定值总体X～N（μ，σ2），μ，σ2均未知步骤：（1）提出假设检验H0：μ=3.25;H1：μ≠3.25（2）选取检验统计量为)1(~25.3ntnSXt（3）H0的拒绝域为|t|≥).1(2ntα（4）n=5,α=0.01，由计算知01304.0)(11,252.3512iiXXnSx查表t0.005(4)=4.6041,)1(343.0501304.025.3252.3||2nttα（5）故在α=0.01下，接受假设H02．[二]如果一个矩形的宽度ω与长度l的比618.0)15(21lω，这样的矩形称为黄金矩形。这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代建筑构件（如窗架）、工艺品（如图片镜框）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服从正态分布，其均值为μ，试检验假设（取α=0.05）H0：μ=0.618H1：μ≠0.6180.6930.7490.6540.6700.6620.6720.6150.6060.6900.6280.6680.6110.6060.6090.6010.5530.5700.8440.5760.933.解：步骤：（1）H0：μ=0.618；H1：μ≠0.618（2）选取检验统计量为)1(~618.0ntnSXt（3）H0的拒绝域为|t|≥).1(2ntα69（4）n=20α=0.05，计算知0925.0)(11,6605.01121niiniixxnSxnx，)1(055.2200925.0618.06605.0||,0930.2)1(22nttntαα（5）故在α=0.05下，接受H0，认为这批矩形的宽度和长度的比值为0.6183.[三]要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时，已知这种元件寿命服从标准差为σ=100小时的正态分布。试在显著水平α=0.05下确定这批元件是否合格？设总体均值为μ。即需检验假设H0：μ≥1000，H1：μ1000。解：步骤：（1）:0Hμ≥1000；H1：μ1000；（σ=100已知）（2）H0的拒绝域为αznσx1000（3）n=25，α=0.05，950x，计算知645.15.225100100005.0zx（4）故在α=0.05下，拒绝H0，即认为这批元件不合格。12.[十一]一个小学校长在报纸上看到这样的报导：“这一城市的初中学生平均每周看8小时电视”。她认为她所领导的学校，学生看电视的时间明显小于该数字。为此她向100个学生作了调查，得知平均每周看电视的时间5.6x小时，样本标准差为s=2小时。问是否可以认为这位校长的看法是对的？取α=0.05。（注：这是大样本检验问题。由中心极限定理和斯鲁茨基定理知道不管总体服从什么分布，只要方差存在，当n充分大时nsμx近似地服从正态分布。）解：（1）提出假设H0：μ≤8；H1：μ8（2）当n充分大时，nsμx近似地服从N（0，1）分布70（3）H0的拒绝域近似为nsμx≥zα（4）n=100，α=0.05，5.6x，S=2，由计算知645.15.7100285.6||05.0zt（5）故在α=0.05下，拒绝H0，即认为校长的看法是不对的。14.[十三]某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005(欧姆)。今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=0.007(欧姆)，设总体为正态分布。问在水平α=0.05能否认为这批导线的标准差显著地偏大？解：（1）提出H0：σ≤0.005；H1：σ0.005（2）H0的拒绝域为)1(005.0)1(222nχSnα（3）n=9，α=0.05，S=0.007，由计算知)1(68.15005.0007.08005.0)1(22222nχSnα查表507.15)8(205.0χ（4）故在α=0.05下，拒绝H0，认为这批导线的标准差显著地偏大。15.[十四]在题2中记总体的标准差为σ。试检验假设（取α=0.05）H0：σ2=0.112，H1：σ2≠0.112。解：步骤（1）H0：σ2=0.112；H1：σ2≠0.112（2）选取检验统计量为)1(~11.0)1(2222nχSnχ（3）H0的拒绝域为)1()1(2212222nχχnχχαα或（4）n=20，α=0.05，由计算知S2=0.09252，437.1311.0)1(22Sn查表知907.8)19(,852.32)19(2975.02025.0（5）故在α=0.05，接受H0，认为总体的标准差σ为0.11.16.[十五]测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出s=0.037%，设测定值总71体为正态分布，σ2为总体方差。试在水平α=0.05下检验假设H0：σ≥0.04%；H1：σ0.04%。解：（1）H0：σ2≥(0.04%)2；H1：σ2(0.04%)2（2）H0的拒绝域为)1(%)04.0()1(2122nχSnα（3）n=10，α=0.05，S=0.037%，查表知325.3)9(295.0χ由计算知).9(701.7%)04.0()037.09%)04.0()1(295.02222χSn（4）故在α=0.05下，接受H0，认为σ大于0.04%17.[十六]在第6[五]题中分别记两个总体的方差为2221σσ和。试检验假设（取α=0.05）H0：2221和以说在第6[五]题中我们假设2221σσ是合理的。解：（1）H0：222112221:,σσHσσ（2）选取检验统计量为)1,1(~212221nnFSSF（3）H0的拒绝域为)1,1()1,1(2121212nnFFnnFFαα或（4）n1=8，n2=10，α=0.05，查表知F0.025(7,9)=4.20298.000084.000025.0,207.082.41)7,9(1)9,7(2221025.0975.0SSFFFF0.975(7,9)FF0.025(7,9)（5）故在α=0.05下，接受H0，认为2221σσ18.[十七]在第8题[七]中分别记两个总体的方差为2221σσ和。试检验假设（取α=0.05）H0：222112221:,σσHσσ以说明在第8[七]题中我们假设2221σσ是合理的。解：（1）H0：222112221:,σσHσσ（2）选取检验统计量2221SSF（3）n1=n2=12，α=0.05，查表知F0.025(11,11)=3.34，299.034.31)11,11(1)11,11(025.0975.0FF72由计算知34.3932.0299.0,1,932.022212221SSSS（4）故在α=0.05下，接受H0，认为2221σσ24.[二十三]检查了一本书的100页，记录各页中印刷错误的个数，其结果为错误个数fi0123456≥7含fi个错误的页数36401920210问能否认为一页的印刷错误个数服从泊松分布（取α=0.05）。解：（1）H0：总体X~π(λ)；H1：X不服从泊松布；（λ未知）（2）当H0成立时，λ的最大似然估计为.1ˆxλ（3）H0的拒绝域为)1(ˆˆ222γkχnpnfχαii（4）n=1003679.0!0}0{ˆ10eXPP3679.0!11}1{ˆ111eXPP18397.0!21}2{ˆ122eXPP06132.0!31}3{ˆ133eXPP01533.0!41}4{ˆ144eXPP003066.0!51}5{ˆ155eXPP000511.0!61}6{ˆ166eXPP000083.0ˆ1}7{ˆ607iiPXPP对于j3，5ˆjPn将其合并得023.8ˆ73jjPn合并后，K=4，Y=173查表知991.5)114(205.0χ由计算知444.1100023.85397.181979.364079.363622222χ（5）故在α=0.05下，接受H0，认为一页的印刷错误个数服从泊松分布。