概率论与数理统计第一次课课件(修改版)

1第一章1.1随机事件1.1.3随机事件的概念在一次试验中可能出现也可能不出现的事件，统称为随机事件。例如在抛骰子试验E中，令A表示“出现奇数点”，A就是一个随机事件。A还可以用样本点的集合形式表示，即A={1,3,5}，它是样本空间Ω2的一个子集。我们称实验E所对应的样本空间Ω的子集为E的一个随机事件，简称事件。例如在抛骰子试验E中考察随机事件A，掷一次骰子，无论掷得1点，掷得3点还是掷得5点，都称在这次试验中事件A发生了。显然样本点1,3,5,都含在A中。样本空间Ω的仅包含一个样本点ω的单点集{ω}也是一种随机事件，这种事件称为基本事件。例如在实验E掷骰子试验中，E1中{𝐻}表示“正面朝上”，这是基本事件；在实验E2中{3}表示掷得3点，这也是基本事件；样本空间Ω包含所有的样本点，它是Ω自身的子集，在每次试验中它总是发生，称为必然事件，必然事件仍记为Ω。空集ϕ不包含任何样本点，它也作为样本空间Ω的子集。在每次试验中都不发生，称为不可能事件。1.1.4随机事件的关系与运算（1）事件的包含与相等设A，B为两个事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或称事件A包含在事件B中，记作B⊃A，A⊂B。（2）和事件称事件“A，B中至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，也称A与B的并，记作A∪B或A+B。A∪B意味着：或A事件发生，或B事件发生，或事件A和事件B都发生。显然有：1、A⊂A∪B，B⊂A∪B2、若A⊂B，则A∪B=BBAΩ2（3）积事件称事件“A，B同时发生”为事件A与事件B的积事件，也称A与B的交，记作A∩B，间记为AB。事件AB发生以为着事件A发生且事件B也发生，也就是说A，B都发生显然有1、AB⊂A，AB⊂B2、若A⊂B，则AB=A（4）差事件称事件“A发生而B不发生”为事件A与事件B的差事件，记作A-B显然有1、A−B⊂A2、若A⊂B，则A−B=ϕ（5）互不相容若事件A与事件B不能同时发生，即AB=ϕ，则称事件A与事件B是互不相容的两个事件，简称A与B互不相容（或互斥）。对于n个事件A1，A2，…，A𝑛，如果它们两两之间互不相容，即A𝑖A𝑗=𝜙(𝑖=1,2,…,n)，则称A1，A2，…，A𝑛互不相容。串例P2（6）对立事件称事件“A不发生”为事件A的对立事件（或余事件，或逆事件），记作𝐴̅。若事件A与事件B中至少有一个发生，且A与B互不相容，即A∪B=Ω，AB=ϕ，则称A与B互为对立事件。显然有1、𝐴̿=𝐴2、Ω̅=ϕ，ϕ̅=Ω3、A−B=A𝐵̅=A−AB在进行事件运算时，经常要用到下列运算律，设A，B，C为事件，则有交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)对偶律：A∪B̅̅̅̅̅̅̅=A̅B̅，AB̅̅̅̅=A̅∪B̅串例P2BAΩBAΩBAΩ3（1）(A−B)∪A=A𝐵̅∪𝐴=(A∩𝐵̅)∪A=(A∪A)∩(𝐵̅∪A)=A∩(𝐵̅∪A)=A做这种题一定要结合Venn图来想像。要记得A−B=A𝐵̅=A∩𝐵̅，再结合分配律（2）(A−B)∪B=(A∩𝐵̅)∪𝐵=(𝐴∪𝐵)∩(𝐵̅∪𝐵)=𝐴∪𝐵（3）(A−B)A=A−B（4）(A−B)B=(A∩𝐵̅)∩𝐵=A∩(𝐵̅∩𝐵)=Aϕ=ϕ同号用结合律（5）(A∪B)(A∪𝐵̅)=A∪(B∩𝐵̅)=A∪ϕ=A或者看不出来，也可以逐步展开(A∪B)(A∪𝐵̅)=(A∪B)∩(A∪𝐵̅)=[(A∪B)∩𝐴]∪[(A∪B)∩𝐵̅]=[(𝐴∩𝐴)∪(𝐵∩𝐴)]∪[(𝐴∩𝐵̅)∪(𝐵∩𝐵̅)]=[𝐴∪(𝐵∩A)]∪(𝐴∩𝐵̅)=𝐴∪(𝐴∩𝐵̅)=𝐴这里(𝐵∩A)的范围明显不能大于A，所以𝐴∪(𝐵∩A)等于A自身。这是并的特点。总结如下：并上比自己小的就等于自身，并上比自己大的要加上大的部分。交上比自己大的就等于自身，交上比自己小的等于小的部分。书例1-4，1-5，1-61.2概率在相同条件下进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数𝑛𝐴称为事件A发生的频数，而比值𝑛𝐴𝑛称为事件A发生的频率，并记作𝑓𝑛(A)。通过实践人们发现，随着试验重复次数n的大量增加，频率𝑓𝑛(A)会逐渐稳定于某一常数，我们称这个常数为频率的稳定值，其实这个稳定值就是事件A的概率P(A)。概率P(A)具有以下性质（1）0≤𝑃(A)≤1（2）𝑃(ϕ)=0，𝑃(Ω)=1（3）当A1，A2，…，A𝑚互不相容（或A1，A2，…，A𝑚，….互不相容）时，有𝑃(⋃𝐴𝑘𝑚𝑘=1)=∑𝑃(𝐴𝑘)𝑚𝑘=1就是说𝑃(𝐴+𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)，这种是最简单的形式1.2.2古典概型设Ω为随机试验E的样本空间，其中所含样本点总数为n，A为一随机事件，其中所含样本点数为r，则有𝑃(𝐴)=𝑟𝑛=𝐴中样本点数Ω中样本点数，也就是𝑃(𝐴)=𝑟𝑛=𝐴所包含的基本事件数基本事件总数常用公式（1）乘法原理：某件事情要经过这k步才能完成，则m1×m2×…×m𝑘4（2）加法原理：某件事情可有k类不同途径之一去完成，则m1+m2+⋯+m𝑘（3）排列从n个不同元素中任取r（r≤n）个元素排成一列，而且考虑先后顺序，则有𝐴𝑛𝑟=𝑛×(𝑛−1)×…×(n−r+1)=𝑛!(𝑛−𝑟)!如1,2,3,4,5,这5个数字可以组成多少个三位数则𝐴53=5×4×3=60（4）组合从n个不同元素中任取r（r≤n）个元素排成一组，不考虑先后顺序，则有𝐶𝑛𝑟=𝐴𝑛𝑟𝑟!=𝑛×(𝑛−1)×…×(n−r+1)𝑟!=𝑛!𝑟!(𝑛−𝑟)!这里约定0!=1，𝐶𝑛0=1如某批产品有合格品100件，次品5件，从中任取3件，其中恰有1件次品，问有多少种不同取法，则𝐶1002𝐶51=100×992!×5=24750串例P4书例1-9,1-111.2.3概率的定义与性质设Ω是随机实验E的样本空间，对于E的每个事件A赋予一个实数，记为P(A)，称P(A)为事件A的概率，如果它满足下列条件：1、P(A)≥02、P(Ω)=13、设A1，A2，…，A𝑚，…是一系列互不相容的事件，则有𝑃(⋃𝐴𝑘∞𝑘=1)=∑𝑃(𝐴𝑘)∞𝑘=1性质1-10≤P(A)≤1，P(ϕ)=0性质1-2对任意事件有P(A⋃B)=P(A)+P(B)−P(AB)，特别的，当A与B互不相容时P(A⋃B)=P(A)+P(B)性质1-3P(B−A)=𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴𝐵)特别的，当A⊂B时，P(B−A)=𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴)，且P(A)≤P(B)且P(A+B)=P(A)+P(𝐴̅𝐵)性质1-4P(𝐴̅)=1−𝑃(𝐴)串例P551.3条件概率1.3.1条件概率与乘法在实际问题中，除了要考虑事件A的概率，还要考虑在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，称为在事件B发生的条件下事件A的条件概率，记作P(𝐴|𝐵)。书例1-17考虑古典概型，设样本空间Ω包含的基本事件总数为n，事件B包含的基本事件数为𝑛𝐵事件AB所包含的基本事件数为𝑛𝐴𝐵，则有P(𝐴|𝐵)=𝑛𝐴𝐵𝑛𝐵=𝑛𝐴𝐵𝑛⁄𝑛𝐵𝑛⁄=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐵)定义1-2设A，B是两个事件，且P(B)0，称P(𝐴|𝐵)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐵)为在事件B发生条件下事件A发生的条件概率由条件概率的定义，我们可以得到一个非常有用的公式，这就是全概率的乘法公式：当P(A)0时，有P(AB)=P(A)P(𝐵|𝐴)当P(B)0时，有P(AB)=P(B)P(𝐴|𝐵)串例P6【例】(1)P(A+B)=P(A)+P(𝐴̅B)=P(A)+P(𝐴̅)P(𝐵|𝐴̅)=0.92+0.08×0.85=0.988(2)这里要求P(𝐴|𝐵̅)=𝑃(𝐴𝐵̅)𝑃(𝐵̅)⁄，这里𝑃(𝐵̅)容易求，而𝑃(𝐴𝐵̅)=𝑃(𝐴−𝐵)=𝑃(𝐴)−𝑃(𝐴𝐵)这里P(A+B)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴𝐵)则𝑃(𝐴𝐵)=P(A+B)−𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)=0.862，则𝑃(𝐴𝐵̅)=𝑃(𝐴−𝐵)=𝑃(𝐴)−𝑃(𝐴𝐵)=0.058，后面的步骤就一样了。1.3.2全概率公式与贝叶斯公式定义1-3设事件A1，A2，…，A𝑛满足如下两个条件：（1）A1，A2，…，A𝑛互不相容，且P(A𝑖)0,𝑖=1,2,…,𝑛（2）A1∪A2∪…∪A𝑛=Ω，即A1，A2，…，A𝑛至少有一个发生，则称A1，A2，…，A𝑛为样本空间Ω的一个划分。全概率公式：设随机实验对应的样本空间为Ω，设A1，A2，…，A𝑛是样本空间Ω的一个划分，B是任意一个事件，则6𝑃(𝐵)=∑𝑃(𝐴𝑖)𝑛𝑖=1𝑃(𝐵|𝐴𝑖)一般的形式𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴)P(𝐴|𝐵)+𝑃(𝐴̅)P(𝐵|𝐴̅)串例P7贝叶斯公式：设A1，A2，…，A𝑛是样本空间的一个划分，B是任一事件，且P(B)0，则P(𝐴𝑖|𝐵)=𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵|𝐴𝑖)𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵|𝐴𝑖)∑𝑃(𝐴𝑘)𝑛𝑘=1𝑃(𝐵|𝐴𝑘)在使用贝叶斯公式时，往往先利用全概率公式求出P(B)串例P81.4事件的独立性定义1-4若P(AB)=P(A)P(B)，则称A与B相互独立，简称A，B独立。性质1-5设P(A)0，则A，B相互独立的充分必要条件是P(𝐵)=P(𝐵|𝐴)设P(B)0，则A，B相互独立的充分必要条件是P(𝐴)=P(𝐴|𝐵)性质1-6若A与B相互独立，则A与𝐵̅，𝐴̅与B，𝐴̅与𝐵̅都相互独立。定义1-5设A，B，C为3个事件，若满足P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则称A,B,C相互独立，简称A,B,C独立。定义1-6设A,B,C为3个事件，若满足P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，则称A,B,C两两独立。定义1-7设A1，A2，…，A𝑛为n个事件，若对于任意整数k(1≤k≤n)和任意k个整数1≤i1i2⋯i𝑘≤𝑛，有P(Ai1Ai2…Ai𝑘)=𝑃(Ai1)𝑃(Ai2)…𝑃(Ai𝑘)，则称A1，A2，…，A𝑛相互独立，简称A1，A2，…，A𝑛独立。串例P91.4.2n重贝努利试验定理1-1在n重贝努利试验中，设每次试验中事件A的概率为p（0p1），则事件A恰好发生k次的概率𝑃n(𝑘)=𝐶𝑛𝑘𝑝𝑘(1−𝑝)𝑛−𝑘,𝑘=0,1,2,…,𝑛事实上，A在制定的k次试验中发生，而在其余的n-k次试验中不发生的概率为𝑝𝑘(1−𝑝)𝑛−𝑘又由于结果A的发生可以有各种排列顺序，n次试验中恰有k次A发生，相当于n个位置选出k个，在这k个位置处A发生，由排列组合知识知道共有𝐶𝑛𝑘种选法，而这𝐶𝑛𝑘中选法对应的𝐶𝑛𝑘个事件又是互不相容的，且𝐶𝑛𝑘个事件的概率都是7𝑝𝑘(1−𝑝)𝑛−𝑘按概率的可加性得到𝑃n(𝑘)=𝐶𝑛𝑘𝑝𝑘(1−𝑝)𝑛−𝑘,𝑘=0,1,2,…,𝑛串例P9第二章随机变量及其概率分布2.1.1随机变量的概念定义2-1设E是随机实验，样本空间为Ω，如果对于每一个结果（样本点）ω∈Ω，有一个实数X(ω)与之对应，这样就得到一个定义在Ω上的实值函数X=X(ω)，称为随机变量。随机变量通常用X,Y,Z,…或X1，X2，…来表示。引入随机变量，就可以用随机变量描述事件，如在掷骰子的试验中，{𝑋=6}表示出现6点，P{