概率论与数理统计课后习题答案第三章金治明李永乐版

1.第三章2.在袋中装有n个球，其中有1n个红球，2n个白球，且12nnn，现从中任取r个球（12min{,}rnn），设取出的红球数为X，取出的白球数为Y，求(,)XY的分布律与边缘分布律。解：(,)XY的分布律为：1212{,},(0,1,,,0,1,,,)klrklnnnnnrnCCCPXkYlkrlrklrC边缘分布律为：11{},(0,1,,)krknnnrnCCPXkkrC22{},(0,1,,)lrlnnnrnCCPYllrC3.设离散型随机变量(,)XY的联合分布律为：(1){,}!()!nmnmppPXnYmemnm0,1,,;0,1,(0,01)mnnp，求边缘分布律。解：(,)XY关于X的边缘分布律为：00(1){}{,}!()!nmnmnnmmppPXnPXnYmemnm0!(1)0,1,2,!!()!!nnnmnmmeneppnnmnmn即X服从参数为的Poisson分布。(,)XY关于Y的边缘分布律为：0(1)(1){}{,}!()!(1)(1)!()!!!0,1,2,!!nmnmnmnmmmnmnmmmkknmkmmmmppppPYmPXnYmemnmppppeemnmmkppeeemmm，即Y服从参数为p的Poisson分布。4.设随机向量(,)XY的密度函数为：1,01,02,(,)20,.xyfxyothers求,XY中至少有一个小于12的概率。解：设A为事件“,XY中至少有一个小于12”。则有11,2201,021113()(,)2228xyxyPAPXYdxdy所以,XY中至少有一个小于12的概率为：51()8PA5.设随机向量(,)XY的密度函数为：,0,0,(1)(,)(2)0,.ncxyxyfxynothers求常数c及求边缘密度函数。解：由1000111(,)(1)(1)1(1)(2)nncfxydxdydxdycxdxcxynnn得(1)(2)cnn(,)XY关于X的边缘密度函数为：10(1)(2),0,(2)(1),0,(1)()(,)0,0,0,0,nnXnndyxnxxxyfxfxydyxx(,)XY关于Y的边缘密度函数为：10(1)(2),0,(2)(1),0,(1)()(,)0,0,0,0,nnYnndxynyyxyfyfxydxyy6.设随机向量(,)XY在由曲线：2,yxyx所围成的区域G内服从均匀分布，写出(,)XY的联合密度函数与边缘密度函数。解：因为区域G：201,xxyx的面积是16，所以(,)XY的联合密度函数为：26,01,,(,)0,.xxyxfxyothers(,)XY关于X的边缘密度函数为：26(1),01,6,01,()(,)0,.0,,xxXxxxdyxfxfxydyothersothers(,)XY关于Y的边缘密度函数为：6,01,6(),01,()(,)0,.0,,yyYdxyyyyfyfxydxothersothers7.设随机向量(,)XY的联合密度函数为：,01,01,(,)0,.xyxyfxyothers求：在10Xn的条件下，Y的分布函数与密度函数。解：因为112001011(0)(,)[()]2nxnnPXfxydxdyxydydxnn所以在10Xn的条件下，Y的分布函数为：0,0,11(|0)(|0),01,1,1.yPYyXPYyXynny当01y时，10221220022(,)1(,0)1(|0)11(0)2[()]211122xnvyynfxvdxdvPYyXnPYyXnnPXnnynyxvdvdxynynnnnnn即在10Xn的条件下，Y的分布函数为：20,0,1(|0),01,11,1.yynyPYyXynny在10Xn的条件下，Y的密度函数为：12,01,11(|0)(|0)10,.nyyfyXPYyXnnynothers设,是相互独立的随机变量，且服从[0,1]上的均匀分布，求方程20xx有实根的概率。解：方程20xx有实根的充要条件是：240所以方程20xx有实根的概率为：22211240004001,011(40)[]412xxyxyxPdxdydydxdx设随机向量(,)XY的联合密度函数为：32,0,0,(1)(,)0,.xyxyfxyothers求XY的密度函数。解：由随机变量和的密度公33022,0,,0,(1)(1)()(,)0,.0,.zZzdxzzxzxzfzfxzxdxothersothers设随机向量(,)XY的联合密度函数为：3,01,(,)0,.xyxfxyothers求XY的密度函数。解：XY的分布函数为：010,0,()()3,01,1,1.yxxyzzFzPXYzxdxdyzz当01z时，100011230()()333133(3)2zxxzxzyxxyzzzFzPXYzxdxdydxxdydxxdyxdxxzdxzz所以XY的密度函数为：23(1),01,()()20,.ZzzfzFzothers设随机变量X与Y相互独立，且服从同一的参数为的指数分布，求/XY的密度函数。解：/XY的分布函数//0,0/,0,()(/)()()0,.xyxyzXYXYxyxyzeedxdyzFzPXYzfxfydxdyothers当0z时，/0//0,01(1)00()111xyxyXYxzxyzxyxxxzzFzeedxdyedxedyzzzeedxedxzzz所以/XY的密度函数为：2//1,0,(1)()()0,.XYXYzzfzFzothers设随机变量X与Y相互独立，且服从同一正态分布2(0,)N，证明：22XY与/XY相互独立。证明：令22/UXYVXY则有22222221UUXYXYXYXVVYYYXY所以22XY与/XY的联合密度为：22222222222222222222211(,)()()||222111,(0,)1xyxyuyguvfxfyJeexyyeeuvxyv由上式易知22XY与/XY相互独立。设随机变量X与Y相互独立，且服从同一指数分布，其密度函数为：,0,()0,0.xexfxx证明：XY与/XY相互独立。证明：令/UXYVXY则有11UVXVUYV2(1)XXUUVJYYVUV所以XY与/XY的联合密度为：22()21,0,0,||,0,0,(1)(,)()()||0,.0,.uxyueuveJuvvguvfxfyJothersothers又因为XY的密度函数为：2,0,()0,0.uXYueufuu/XY的密度函数为：2/1,0,(1)()0,0.XYvvfvv所以XY与/XY相互独立1.设某种电子装置的输出是随机变量，它的密度函数为：28,0,()40,0.xxexfxx现对它的输出进行了5次独立的测量，得到测量值,1,2,3,4,5iXi。（1）求12345max(,,,,)ZXXXXX的分布函数；（2）求(4)PZ。解：（1）12345max(,,,,)ZXXXXX的取值范围为[0,)，其分布函数为：123455123451()()(max(,,,,))(,,,,)()iiFzPZzPXXXXXzPXzXzXzXzXzPXz当0z时，2222888001()148xxzzzixPXzedxedxe所以12345max(,,,,)ZXXXXX的分布函数为：2581,0,()0,0.zezFzz52(4)1(4)1(4)11PZPZFe