概率论习题解答(第5章)

第5章习题答案三、解答题1.设随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，且X～P()，niiXnX11，试利用契比谢夫不等式估计}2|{|XP的下界。解：因为X～P()，niiniinnXEnXnEXE111)(1)1()(nnnXDnXnDXDniinii11)(1)1()(2121由契比谢夫不等式可得nnXP4114/1}2|{|2.设E(X)=–1，E(Y)=1，D(X)=1，D(Y)=9，XY=–0.5，试根据契比谢夫不等式估计P{|X+Y|3}的上界。解：由题知YXYX=11=0CovYX,=YDXDxy=915.0=-1.575.1291,2YXCovYDXDYXD所以97303)(YXYXP3.据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布．现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的．求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率．解：设i个元件寿命为Xi小时，i=1,2,......,16，则X1，X2，...，X16独立同分布，且E(Xi)=100，D(Xi)=10000，i=1,2,......,16，4161161106.1)(,1600)(iiiiDE，由独立同分布的中心极限定理可知：161ii近似服从N(1600,1.610000)，所以1920161ii=19201161ii16000016001920100006.116001161ii8.01=1-0.7881=0.21194.某商店负责供应某地区1000人商品，某种商品在一段时间内每人需要用一件的概率为0.6，假定在这一时间段各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销（假定该商品在某一时间段内每人最多可以买一件）．解：设商店应预备n件这种商品，这一时间段内同时间购买此商品的人数为X，则X~B（1000，0.6），则E(X)=600，D(X)=240，根据题意应确定最小的n，使P{X≤n}=99.7%成立.则P{X≤n})75.2(997.0)240600(240600240600nnX所以6.64260024075.2n，取n=643。即商店应预备643件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销。5.某种难度很大的手术成功率为0.9，先对100个病人进行这种手术，用X记手术成功的人数，求P{84X95}．解：依题意,X~B（100，0.9），则E(X)=90，D(X)=9，}3909539039084{)9584{XPXP92979.097725.0195254.0)2(1)35()2()35(6.在一零售商店中，其结帐柜台替顾客服务的时间（以分钟计）是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1．求对100位顾客的总服务时间不多于2小时的概率．解：设柜台替第i位顾客服务的时间为Xi，i=1,2,3.....100.则Xi，i=1,2,3.....100独立同分布，且E（Xi）=1.5，D(Xi)=1，所以10015012011005.110012010011001iiiixPxP0013.09987.01313即对100位顾客的服务时间不多于两个小时的概率为0.0013.7.已知笔记本电脑中某种配件的合格率仅为80%，某大型电脑厂商月生产笔记本电脑10000台，为了以99.7%的把握保证出厂的电脑均能装上合格的配件，问：此生产厂商每月至少应购买该种配件多少件？解：设此生产厂商每月至少应购买n件该种配件，其中合格品数为X，则X~B(n，0.8),0.997=P{X10000}=)4.08.010000(1}4.08.01000016.08.0{nnnnnnXP，解得n=12655即此生产厂商每月至少应购买12655件改种配件才能满足以99.7的把握保证出厂的电脑均能装上合格的配件。8.已知一本300页的书中，每页的印刷错误的个数服从参数为0.2的泊松分布，试求整书中的印刷错误总数不多于70个的概率．解：记每页印刷错误个数为iX，i=1，2，3，…300，则它们独立同服从参数为0.2的泊松分布，所以E（Xi）=0.2，D(Xi)=0.2所以90147.029.160106060-700300.20300.2-703001i3001iiiXPXP9.设车间有100台机床，假定每台机床是否开工是独立的，每台机器平均开工率为0.64，开工时需消耗电能a千瓦，问发电机只需供给该车间多少千瓦的电能就能以概率0.99保证车间正常生产？解：设发电机只需供给该车间m千瓦的电能就能以概率0.99保证车间正常生产，记X为100台机床中需开工的机床数，则X~B(100，0.64),E（aX）=64a，D(aX)=100×0.64×0.36a2)33.2(99.08.4640.360.6410064aamaaaXPmaXP33.28.464aam，所以aaam18.758.433.26410.某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元．若老人在该年内死亡，公司付给家属1万元．设老年人死亡率为0.017，试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率．解：设当年内投保老人的死亡数为X，则X~B(10000,0.017)。保险公司在一年内的保险亏本的概率为20012002001000010000XPXPXP)017.01(170017.010000200101.0)321.2(1所以保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率是0.01四、应用题1.某餐厅每天接待400名顾客，设每位顾客的消费额（单位：元）服从区间(20，100)上的均匀分布，且顾客的消费额是相互独立的，求该餐厅的日营业额在其平均营业额760元内的概率．解：设每位顾客的消费额为Xi，i=1,2,…400,且Xi~U(20，100)，则316001280801220100,602201002iiXDXE，由独立同分布的中心极限定理3160060,400400~4001NXii近似,所以9505.016454.121376023760316004002400037603160040076031600400240003160040076076024000760760604004001400140014001iiiiiiiiXPXPXPXP2.设某型号电子元件的寿命（单位：小时）服从指数分布，其平均寿命为20小时，具体使用时当一元件损坏后立即更换另一新元件，已知每个元件进价为110元，试问在年计划中应为此元件作多少元的预算，才可以有95%的把握保证一年的供应（假定一年工作时间为2000小时）．解：设应为这种元件作m元的预算，即需进m/110个元件，记第i件的寿命为Xi小时，i=1，2，3···,m/110，且Xi~E(20)，所以E（Xi）=20，D(Xi)=400，110/12000miiXP=)11011000(1110/20110/202000110/400110/201mmmmmmXPnii=0.95)645.1(95.0)11011000(mm，所以,645.111011000mm所以m=12980即在年计划中应为此元件作12980元的预算，才可以有95%的把握保证一年的供应.3.据调查某村庄中一对夫妻无孩子、有1个孩子、有2个孩子的概率分别为0.05，0.8，0.15．若该村共有400对夫妻，试求：(1)400对夫妻的孩子总数超过450的概率；(2)只有1个孩子的夫妻数不多于340的概率．解：(1)设第k对夫妻孩子数为Xk，则Xk的分布律为Xk012p0.050.80.15则1.115.0280.0105.00)(kXE，19.0)()()(22kkkXEXEXD7644019.04001.140040014001kkkkXX故1357.0)147.1(1)76440450(1)7644045076440()450(40014001kkkkXPXP即400对夫妻的孩子总数超过450的概率为0.1357(2)设Y为只有一个孩子的夫妻对数，则Y~B(400,0.8)，2.08.04008.04003402.08.04008.0400}340{YPYP9938.0)5.2()2.08.04008.0400340(即只有1个孩子的夫妻数不多于340的概率为0.9938．（B）1.设随机变量X的概率密度为其它,00,!)(xemxxfxm，m为正整数，证明：1)}1(20{mmmXP（提示：利用Chebyshev不等式）．证明：E（X）=0xf(x)dx=11201mmmmmdxemxxm!)!(!)(!，))((!)(!!)()()(123100130222mmmmdxexmdxemxdxxfxXExmxm1112222mmmmXEXEXD)())(()()()(由切比雪夫不等式)(120mXP=211111)()(mmmmXP=1mm2.设}1:{nXn为独立同分布的随机变量序列，其共同的分布如下表所示，证明}{nX服从Chebyshev大数定律．Xn202pk1/41/21/4证明：0412210412i，22iiiXXXD1041)2(210412222又因为}1:{nXn独立且同分布，所以nX服从切比雪夫大数定律.3.设随机变量序列}1:{nXn独立同分布，)0()(,0)(22nnXDXE，又)(4nXE存在（n=1,2,…），证明：2121PniiXn．（提示：利用Chebyshev大数定律）证明：因为随机变量序列}1:{nXn独立同分布，所以}{2iX也独立同分布22)()()(iiiXEXDXE，442242)()]([)()(iiiiXEXEXEXD存在由Chebyshev大数定律，2121PniiXn