概率论第四章第五章习题

第四章数字特征一．主要内容随机变量的数学期望方差协方差和相关系数二．课堂练习1．一台设备由三大部件构成,在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.10.2和0.3,假设各部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部件数,试求X的数学期望和方差.222:X:P(X0)0.504,P(X1)0.398P(X2)0.092,P(X3)0.006E(X)00.50410.39820.09230.0060.6E(X)0.820,DXE(X)E(X)0.46解法一先求出的分布律则i1231231231231,i,:Xi1,2,3,0,i,XXXX,X,X,X,E(X)E(X)E(X)E(X)0.10.20.30.6,D(X)D(X)D(X)D(X)0.46第个部件需要调整解法二设第个部件不需要调整且相互独立2X2.X~U(0,1),(1)Ye;(2)Cov(X,Y)设求的概率密度求2YXX1,1ye,11112yf(y)f(lny)(lny)f(lny)2222y0,.其它12X2x2012X2x202211(2)E(X),E(Y)E(e)edx(e1)221E(XY)E(Xe)xedx(e1),4Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)111(e1)(e1).442则3.(X,Y)1,|y|x,0x1,f(x,y):E(X),E(Y),Cov(X,Y)0,,设随机变量的概率密度为求其它1x0x1x0x1x0x2E(X)xf(x,y)dxdyxdxdy,3E(Y)yf(x,y)dxdydxydy0,E(Y)yf(x,y)dxdydxydy0,Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)0E(X),E(Y)X,Y求时，也可以先求的边缘密度，再用一个随机变量的数学期望公式求。12341232344.,,,,,X,Y,:XY设相互独立同分布且方差有限令试求与的相关系数2ii222222212323422XY22E(),D(),i1,2,3,4E(X)3,E(Y)3,D(X)3,D(Y)3,E(XY)E()()72()92Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)2.Cov(X,Y)22.3D(X)D(Y)33设则222iij2ijE(),ijE()E()E(),ij注2X5.X~N(,),E|X|;(2)E(e).设求:(1)22(x)21(1)E|X||x|edx222xttt22012|t|edt2tedt.22令2(x)2t2222221222txXx1122(t)12(2)E(e)eedx(t)eedteedte令6.设随机变量X，Y相互独立，都服从1N02（，）分布，求：1（）E|X-Y|;(2)D|X-Y|.2221XYN(0)XYN(01).22E|XY|,D|XY|E[(XY)][E|XY|]22D(X-Y)[E(XY)]1XY因与相互独立，都服从，分布，则服从，分布注：将作为一个正态随机变量求期望方便。a,.例题1.在长为的线段上任取两点求两点间距离的数学期望和方差2xyaaD00222D2XY,XY[0,a].1,0xa,0yaf(x,y)f(x)f(y)a0,aE|XY||XY|f(x,y)dxdy|XY|f(x,y)dxdy3aE(|XY|)(XY)f(x,y)dxdy6D|XY|E|XY|E|X设两点的坐标分别为和则和相互独立且都服从上的均匀分布其它则（22aY|18）|XY||XY|注：（1）求的数字特征可不必求出的分布。（2）这题中将|X-Y|看作X和Y两个随机变量的函数。例题2.卡车装运水泥，设每袋水泥的重量X（公斤）服从N（50，2.52）,问：最多装多少水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05？212nnn2iii1i1nii1nn222iiiii1i1X,X,,X,N(50,2.5)nP{X2000}0.05,X~N(50n,2.5n),P{X2000}0.95n39.48,n39.XnX,nX~N(50n,n2.5),X~N(50n,n2.5).独立同分布都服从分布，求使得而，取注：而XYABEP(A)0,P(B)0,1,1,ABX,Y:XY0,0,AB:0,XY.例题3.设，是随机试验的两个随机事件，且若发生若发生并定义随机变量如下若不发生若不发生证明若则与必定独立XYP(Xi,Yj)P(Xi)P(Yj)i,j0,10CovXY0E(XY)E(X)E(Y)P(X1,Y1)P(X1)P(Y1)P(AB)P(A)P(B),A,B,AB,AB,AB,P(X1,Y0)P(X1)P(Y0)P(X1,Y0)P(X1)P(Y0)P(X1,Y0)P(X1)P(即要证由，可得（，），则，相互独立则与与与也相互独立故，Y0)P(X1,Y0)P(X1)P(Y0)P(X1,Y0)P(X1)P(Y0)P(X0,Y1)P(X0)P(Y1)P(X0,Y0)P(X0)P(Y0)XY.，，，所以与相互独立第五章极限定理一．主要内容：大数定律中心极限定理二．课堂练习1.2005%90%设某单位有台电话机，每台电话机有的时间需要使用外线通话。若每台电话机是否使用外线是相互独立的。问该单位总机至少需要安装多少条外线才能以以上的概率保证每台电话机需要使用外线时不被占用？innii1nnnnn1,;Xi1,2,,2000,X(n200).npk,P{0k}0.9.Y,p0.05,n200np(1p)0npknpP{0k}P{Y}np(1p)np(1p)第i台电话机使用外线设第i台电话机不使用外线则表示同时使用外线的电话机总数求值使令则knpnpk10()()()0.9np(1p)np(1p)9.5k10101.30,k14(()0)9.59.5则2装配工人装配某种零件，每只需要2分钟，但若装配不合格就需要重装，再要用2分钟，且一定能装好。设每个零件的装配是相互独立的，每个零件需要重装的概率为0.3。若每个工人每天的实际工作时间是8小时，任务是装配180个零件，求工人每天完不成任务的概率的近近似值。iiiiiiXi12180P(X2)0.7,P(X4)0.3E(X)2.6D(X)0.84i设第个零件的装配时间为，X相互独立同服从两点分布，，，，，，则180180iii1i1180ii1P{X480}1P{X480}X1802.64801802.61P{}1(0.9759)0.1661800.841800.84i180180iii1i1180ii11iXi1,2,,180iP{X60}1P{0X60}X1800.301800.3601800.31P{}1800.30.71800.30.71800.30.71(0.9757)0.166又考虑需重装的零件数，第个零件需要重装设0第个零件不需要重装