概率论竞赛参考答案

1.从集合3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，求这3个数可以构成等差数列的概率。解设A为“取出的3个数可以构成等差数列”，基本事件的总数是2036C，A所包含基本事件数为6，所以103206)(AP。2.从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数abcde，求满足条件“abcde”的概率。解设A为所求概率的事件，基本事件的总数是120!5，A所包含基本事件数为164!3!2，所以15212016)(AP。3.现有5双不同号码的鞋，从中取出4只，求恰能配成一双的概率。解设A为“取出4只鞋恰能配成一双”，基本事件的总数是210410C，A所包含基本事件数为12012122415CCCC，所以74210120)(AP。4.有5个乒乓球，其中有3个是新球，2个是旧球，每次比赛，都拿其中的2个使用，用完后全部放回，求第2次比赛时取到2个新球的概率。解设“第一次取到i个新球”为iA，（i=0，1，2）“第二次取到2个新球”为,B则,101)(2522030CCCAP,106)(2512131CCCAP,103)(2502232CCCAP,103)/(25230CCABP,101)/(25221CCABP,0)/(2ABP从而)(BP)()/(00APABP)()/(11APABP)()/(22APABP=1011031061010=10095.从[0，1]之间选出两个数，求这两个数的平方和大于0.25的概率。解设两数分别为yx,，样本空间为}10,10|),{(yxyxS，A表示事件“两个数的平方和大于0.25”,则}25.0,),(|),{(22yxSyxyxA)(AP)()(SA2221)21(4111616.某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻810∶910∶830∶930∶850∶950∶概率161213一旅客820∶到车站，求他候车时间X的概率分布解X可取10，30，50，70，90，21}10{XP，31}30{XP，3616161}50{XP，1212161}70{XP，1813161}90{XP，于是,X的概率分布可表示为：X1030507090ip21313611211817.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,则)(AP。解依题意，91)(BAP，)()(BAPBAP，由于A和B独立，所以有91))(1))((1(BPAP，)())(1())(1)((BPAPBPAP，从而有32)(AP，8.在一次投篮测试中，每人只要投中3个，即为合格，不用再投，不过每人至多只能投5次，一投篮命中率为2/3的球员，求其测试合格的概率。解设B为事件“测试合格”，由于投中3个的可能投篮次数为3、4、5，故设iA为“投篮i次投中3个”（i=3、4、5），则543AAAB，显然3A、4A、5A互不相容，33)32()(AP，2783231)32()(2134CAP，811632)31()32()(22245CAP所以8164)()()()(543APAPAPBP9.一个盒子里有3个黑球和4个白球，现从盒子里随机每次取出一个球，取出后不再放回，每个球被取出的可能性相等，直到某种颜色的球全部被取出．求最后取出的是黑球的概率。解设B为事件“最后取出的是黑球”，依题意，黑球取完后白球还未取完，故取球的可能次数3、4、5、6，设iA为“取球i次取完黑球”（i=3、4、5、6），则6543AAAAB，显然3A、4A、5A、6A互不相容，351516273)(3AP，353415462733)(4AP，35631435462736)(5AP，351021324354627310)(6AP所以743520)()()()()(6543APAPAPAPBP10.一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，求相邻两个小球的颜色均不相同的概率。解摸球的结果有4种，设1A为事件“白球红球均不相邻”，2A为事件“白球相邻红球不相邻”，3A为事件“红球相邻白球不相邻”，4A为事件“白球红球均相邻”，显然1A、2A、3A、4A互不相容，1A所包含基本事件数为1m=12，2A所包含基本事件数为2m=6，3A所包含基本事件数为3m=6，4A所包含基本事件数为4m=6，所以)(1AP52301243211mmmmm。11.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的概率分布。解X可取2，4，6，9531313232)2{XP，8120313132312323232312}4{XP，8116313132313231232323231323123231323132312}6{223XP，于是,X的概率分布可表示为：X246ip9581208116