正余弦定理的应用(公开课)

1课题：正、余弦定理的应用——解三角形班级：高一（1）班人数：50人教师：日期：2013年5月7日星期二上午第2节课题说明《解三角形》是中学数学教学中的重要组成部分,是高考的必考内容。从知识的网络结构上看，它是三角公式及变换的延续和应用,也是正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等的运用和拓展。正余弦定理是反映三角形中边与角之间关系的两个重要定理，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系，对它们进行灵活应用，就会感到另一种新奇与愉悦，同时也给众多题目找到了“同一根源”。教学目标(一)知识目标1.三角形的有关性质；2.正、余弦定理综合运用.(二)能力目标1.熟练掌握正、余弦定理应用；2.进一步熟悉三角函数公式和三角形中的有关性质；3.综合运用正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题.(三)德育目标通过正、余弦定理在解三角形问题时沟通了三角函数与三角形有关性质的功能，反映了事物之间的内在联系及一定条件下的相互转化.教学重点正、余弦定理的综合运用.教学难点1.正、余弦定理与三角形性质的结合；2.三角函数公式变形与正、余弦定理的联系教学过程：一、知识梳理：（一）三大定理1、正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin（其中R为外接圆的半径）变形：ARasin2（角化边）RaA2sin（边化角）CBAcbasin:sin:sin::（比例）2、余弦定理：2222cosabcbcA222cos2bcaAbc2222cosbacacB222cos2acbBac2222coscababC222cos2bacCba（边角互化，求角，判别角）勾股定理：2222,_________;,____.2AaabcA23、面积定理：ahS21（a为三角形的底，h为三角形的高）RabcBacAbcCabS4sin21sin21sin21（其中R为外接圆的半径）（二）常用结论（1）CBA;（2）大边对大角，大角对大边：BABAbasinsin；（3）三角变换：2sin)2cos(,2cos)2sin(tan)tan(,cos)cos(,sin)sin(CBACBACBACBACBA例题分析：类型1、求解斜三角形中的基本元素是指已知两角一边（或两边一角或三边），求出其他三个元素，进而求出三角形的三线（高，角平分线，中线），周长，面积等基本问题。（1）在△ABC中，030,6,32Aba，求此三角形的边c.解：法一：23sinsin630sin320BB又BAB,180000所以060B或0120B当060B时，090C，3490sin30sin3200cc当0120B时，030C，32ac；法二：02436363612cos222222ccccAbccba所以32c或34c小结：已知两边及一边的一对角，解三角形时，需考虑解的个数。（2）已知三角形的一个角为60°，面积为310，周长为20，求此三角形的各边长。解：不妨设060B，则1340720403)(2031060sin21220222caacbbcaacaccabcbaacaccab58785713407cabcabcaacb或所以三边长分别为5,7,8小结：已知一个角，可由余弦定理建立一个关于a,b,c的关系式，再结合面积公式，周长公式求出a,b,c。3（3）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长.解：设xCDxBCBD,2则xxADCxxADB42916cos422516cos2210878922xxxxx所以2BC。小结：体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用类型2、判断三角形的形状在中ABC，22tantanbaBA，试判断ABC的形状解：法一：角化边222222222222222sincoscossintantan2baacbbcabcacbbacbcaaBABABA0)()()()(2222222222222bacbabcabacba222bacba或所以ABC是等腰三角形或直角三角形。法二：边化角BAABBABABAbaBAsinsincoscossinsinsincoscossintantan2222BABBAA2sin2sincossincossinBABA2222或2BABA或所以ABC是等腰三角形或直角三角形。小结：已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：①化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式；②化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式。两条转化主要是应用正弦定理（边化正弦，正弦化边）和余弦定理（余弦直接代入）。类型3、最值问题已知cba,,分别为ABC的三内角CBA,,的对边，且BbAcCacos2coscos（1）求角B的大小；（2）求CAsinsin的最大值；（3）若ABC的外接圆半径为4，求ABC面积的最大值；4解：（1）法一：边化角（正弦定理）CRcBRbARasin2sin2sin2由BbAcCacos2coscos得BBcABBACCAcossin2)sin(cossin2cossincossin21coscossin2sinBBBB又B0所以3B角化边（余弦定理）由BbAcCacos2coscos得Bbbcacbcabcabacos222222222BbbBbacbcabcos42cos422222222221cosB又B0所以3B（2）)3sincos3cos(sinsin)3sin(sinsinsinAAAAACAAAAAAAAA2sin43)2cos1(41cossin23sin21)cos23sin21(sin241)6sin2cos6cos2(sin2141)2cos212sin23(21412cos412sin43AAAAAA41)62sin(21A67626,320AA3A262即当A，CAsinsin的最大值为43；（3）343sin8sin2BRb，CCRcAARasin8sin2sin8sin2CAacBacSsinsin31643sin215由（2）可知当3A时，CAsinsin的最大值为43，所以S的最大值为312。小结：充分挖掘两个定理，利用三角函数的有界性来求面积的最值，体现三角函数公式的工具性作用。三、在线测试：（1）已知△ABC中，sinA:sinB:sinC＝1:1:2，则此三角形的最大内角的度数是()A．60°B．90°C．120°D．135°（2）在ABC中，若CcBbAasincoscos，则ABC是()A．直角三角形.B.等边三角形.C.钝角三角形.D.等腰直角三角形.（3）在△ABC中，0135,3,2Cba,则ABC的面积是()A．3B．23C．223D．233（4）在ABC中，已知4,13,3ACBCAB，则AC边上的高为（）A．223B.233.C.23.D.33四、课堂小结熟记：正余弦定理及其变形；三角形面积公式；合理采用公式求边、角、面积、周长、外接圆半径；活用：灵活运用定理，实现边角转化；注重：数形结合与转化思想。五、课外作业1、若△ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC则△ABCA．一定是锐角三角形.B．一定是直角三角形.C．一定是钝角三角形.D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.2、在ABC中，3,1,23baS，则角B=______________________;3、在ABC中，AB=4,AC=3,角平分线AD交BC于D，AD=2，则面积S=__________;4、已知圆内接四边形ABCD的四条边长分别为5,8,3,3DACDBCAB，求四边形ABCD的面积。5、已知cba,,分别为ABC的三内角CBA,,的对边，且BbAcCacos2coscos（1）求角B的大小；（2）求CAsinsin的取值范围；6（3）若ABC的外接圆半径为4，求ABC周长的取值范围。