正六边形在向量中的应用

正六边形在向量中的应用315504浙江奉化江口中学毛显勇内容摘要：以正六边形为载体，理解向量的概念、运算等，以及在教科书与高考中的应用。关键词：正六边形向量正六边形是各内角都相等（都为1200），且六边都相等、对边互相平行的正多边形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。可分解成六个等边三角形，有共同的顶点，即正六边形的中心，且过中心的对角线是它外接圆的直径，长度是边长的2倍。等边三角形的高是正六边形内接圆的半径。由于正六边形有这些特点与性质，于是在生活、学习中被大量用到，如蜜蜂营造的蜂房是正六边形的、正六边形是其中一种能够密铺平面的正多边形等等。下面举例在向量中的应用。1书上的应用例1（普通高中课程标准实验教科书数学必修4P76例2）如图，设O是正六边形ABCDEF的中点，分别写出图中与OA、OB、OC相等的向量。解：OA=CB=DO；OB=DC=EO；OC=AB=ED=FO。并提出思考：向量OA与EF相等吗？向量OB与AF相等吗？答：向量OA与EF相等；向量OB与AF不相等，虽然长度相等，但方向相反。教师还可以引申：（1）与AB相等的向量；（2）与AB模相等的向量；（3）与AB平行的向量。点评本例题通过正六边形增加向量的直观感受，理解、巩固相等向量、平行（或共线）向量和模的概念。例2（P118复习参考题A组4）已知六边形ABCDEF为正六边形，且AC=a，BD=b，分别用a，b表示DE、AD、BC、EF、FA、CD、AB、CE。解析：如图，∵AC=AB+BC=BCBA=a，BD=BA+AD=2BC+BA=b，∴BC=1133ab，BA=2133ab。则DE=BA=2133ab；AD=2BC=2233ab；AEDBCOFDBAEFCEF=BC=1133ab；FA=FO+OA=BABC=1233ab；CD=FA=1233ab；AB=BA=2133ab；CE=CD+DE=ab。说明：本解法用到了方程的思想，先解出向量BC、BA，再来求其它；其实本题还可以利用平几知识：设BD交AC于点M，因为1//2BCAD，可得BD=3BM，AC=32AM，所以DE=BA=MAMB=2133ACBD=2133ab，从而也可以得到其它的向量。点评本练习利用正六边形的性质，理解、巩固和掌握相等向量、平行向量和相反向量的概念与向量的加减和数乘运算。练习已知正六边形ABCDEF，给出下列表达式：①BC+CD+EC；②2BC+DC；③FE+ED；④2EDFA。其中与AC等价的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个选D。2在高考中的应用例3（08江西文16）如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：A．2ACAFBCB．22ADABAFC．ACADADABD．()()ADAFEFADAFEF其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．解析：2ACAFACCDADBC,∴A对取AD的中点O,则222ADAOABAF,∴B对设1AB,则32cos36ACAD,而21cos13ADAB,∴C错又()(2)2()()ADAFEFEFAFEFEFAFEFADAFEF,∴D对∴真命题的代号是,,ABD点评本题利用正六边形为载体，考查了相等向量、平行向量的概念，向量的加法、数乘和数量积运算，考察了学生对向量概念、运算是否理解透彻、准确，特别对数量积运算能否灵活应用，而不是拘泥于形式。MDBAEFCEAFBDC例4（06四川理7文4）如图，已知正六边形123456PPPPPP，下列向量的数量积中最大的是()（A）1213PPPP（B）1214PPPP（C）1215PPPP（D）1216PPPP解：如图，已知正六边形123456PPPPPP，设边长12||PPa，则∠213PPP=6.13||3PPa,1213PPPP=233322aaa，∠214PPP=3，14||2PPa，1214PPPP=2122aaa，1215PPPP=0，1216PPPP0，∴数量积中最大的是1213,PPPP，选A.点评本题利用正六边形中的边长、角度间的关系，考查对数量积的理解与运用。参考文献：《普通高中课程标准实验教科书数学必修4》人民教育出版社2007.6