步步高大一轮复习讲义高三数学两角和与差的正弦余弦正切

§4.5两角和与差的正弦、余弦和正切1．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(Cα－β)cos(α＋β)＝____________________(Cα＋β)sin(α－β)＝____________________(Sα－β)sin(α＋β)＝____________________(Sα＋β)tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ(Tα－β)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ(Tα＋β)前面4个公式对任意的α，β都成立，而后面两个公式成立的条件是α≠kπ＋π2，β≠kπ＋π2，k∈Z，且α＋β≠kπ＋π2(Tα＋β需满足)，α－β≠kπ＋π2(Tα－β需满足)k∈Z时成立，否则是不成立的．当tanα、tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式Tα±β处理有关问题，应改用诱导公式或其它方法来解．2．二倍角公式sin2α＝__________________；cos2α＝______________＝____________＝____________；tan2α＝______________.3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如Tα±β可变形为：tanα±tanβ＝__________________________，tanαtanβ＝________________＝______________.4．函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝______________或f(α)＝________________，其中φ可由a，b的值唯一确定．[难点正本疑点清源]1．正确理解并掌握和、差角公式间的关系理解并掌握和、差角公式间的关系对掌握公式十分有效．如cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ可用向量推导，cos(α＋β)只需转化为cos[α－(－β)]利用上述公式和诱导公式即可．2．辩证地看待和角与差角为了灵活应用和、差角公式，可以对角进行适当的拆分变换：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换．如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β2，α＋β2＝α－β2－α2－β等．1．(课本精选题)化简：sin200°cos140°－cos160°sin40°＝_____________________________.2．(课本精选题)已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝－15，则tanαtanβ的值为________．3．(课本改编题)函数f(x)＝2sinx(sinx＋cosx)的单调增区间为______________________．4．(2011·辽宁)设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ等于()A．－79B．－19C.19D.795．若sinπ6－α＝13，则cos2π3＋2α的值为()A.13B．－13C.79D．－79题型一三角函数式的化简求值问题例1(1)化简：1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)；(2)求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°1tan5°－tan5°.探究提高(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：①化为特殊角的三角函数值；②化为正、负相消的项，消去求值；③化分子、分母出现公约数进行约分求值．(1)化简：1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2；(2)求值：[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280°.题型二三角函数的给角求值与给值求角问题例2(1)已知0βπ2απ，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．探究提高(1)注意变角α－β2－α2－β＝α＋β2，可先求cosα＋β2或sinα＋β2的值．(2)先由tanα＝tan[(α－β)＋β]，求tanα的值，再求tan2α的值，这种方法的优点是可确定2α的取值范围．(3)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好．(4)解这类问题的一般步骤为：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．(2011·广东)已知函数f(x)＝2sin13x－π6，x∈R.(1)求f5π4的值；(2)设α，β∈0，π2，f3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．题型三三角变换的简单应用例3已知f(x)＝1＋1tanxsin2x－2sinx＋π4·sinx－π4.(1)若tanα＝2，求f(α)的值；(2)若x∈π12，π2，求f(x)的取值范围．探究提高(1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin2α，cos2α化为正切tanα，为第(1)问铺平道路．(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．(2010·天津)已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝65，x0∈[π4，π2]，求cos2x0的值．6.构造辅助角逆用和角公式解题试题：(12分)已知函数f(x)＝2cosxcosx－π6－3sin2x＋sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f(α)＝1，求α的值．审题视角(1)在f(x)的表达式中，有平方、有乘积，而且还表现为有不同角，所以要考虑到化同角、降幂等转化方法．(2)当f(x)＝asinx＋bcosx的形式时，可考虑辅助角公式．规范解答解(1)因为f(x)＝2cosxcosx－π6－3sin2x＋sinxcosx＝3cos2x＋sinxcosx－3sin2x＋sinxcosx[2分]＝3cos2x＋sin2x＝2sin2x＋π3，所以最小正周期T＝π.[6分](2)由f(α)＝1，得2sin2α＋π3＝1，又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈π3，7π3，[8分]所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，故α＝π4或α＝11π12.[12分]第一步：将f(x)化为asinx＋bcosx的形式．第二步：构造：f(x)＝a2＋b2(sinx·aa2＋b2＋cosx·ba2＋b2)．第三步：和角公式逆用f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)．第四步：利用f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)研究三角函数的性质．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和解题规范．批阅笔记(1)在本题的解法中，运用了二倍角的正、余弦公式，还引入了辅助角，技巧性较强．值得强调的是：辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中tanφ＝ba)，或asinα＋bcosα＝a2＋b2cos(α－φ)(其中tanφ＝ab)，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．(2)本题的易错点是想不到引入辅助角或引入错误．在定义域大于周期的区间上求最值时，辅助角的值一般不用具体确定.方法与技巧1．巧用公式变形：和差角公式变形：tanx±tany＝tan(x±y)·(1∓tanx·tany)；倍角公式变形：降幂公式cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；配方变形：1±sinα＝sinα2±cosα22,1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2.2．利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．y＝asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中tanφ＝ba)有：a2＋b2≥|y|.3．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．4．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化！5．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形．失误与防范1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的．3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．课时规范训练(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1．已知sinα＝23，则cos(π－2α)等于()A．－53B．－19C.19D.532．(2011·福建)若α∈0，π2，且sin2α＋cos2α＝14，则tanα的值等于()A.22B.33C.2D.33．(2011·浙江)若0απ2，－π2β0，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，则cosα＋β2等于()A.33B．－33C.539D．－69二、填空题4．(2011·江苏)已知tanx＋π4＝2，则tanxtan2x的值为________．5．函数f(x)＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．6．sinα＝35，cosβ＝35，其中α，β∈0，π2，则α＋β＝________.三、解答题7．已知A、B均为钝角且sinA＝55，sinB＝1010，求A＋B的值．8．已知函数f(x)＝cos2x－π3＋2sinx－π4·sinx＋π4，求函数f(x)在区间－π12，π2上的最大值与最小值．B组专项能力提升题组一、选择题1．已知锐角α满足cos2α＝cosπ4－α，则sin2α等于()A.12B．－12C.22D．－222．若将函数y＝Acosx－π6·sinωx＋π6(A0，ω0)的图像向左平移π6个单位后得到的图像关于原点对称，则ω的值可能为()A．2B．3C．4D．53．已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4等于()A.1318B.1322C.322D.16二、填空题4．化简：sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x＝________.5.3tan12°－34cos212°－2sin12°＝________.6．已知cosπ4－α＝1213，α∈0，π4，则cos2αsinπ4＋α＝________.三、解答题7．已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2，(1)求tan2α的值；(2)求β.8．设函数f(x)＝cos2x＋π3＋sin2x.(1)求函数f(x)的最大值；(2)设A，