第六章期权定价与动态无套利(西安交通大学,李茂盛)

第六章期权定价与动态无套利均衡分析经济与金融学院金融系李茂盛期权第一份标准化的期权合约于1973年上市交易。从此期权市场发展迅速。期权：期权的多头一方有权利在未来确定的日期买入或卖出一定数量一定品质的标的物。金融期权的标的物：股票、股票指数、外汇、债务工具、期货合约。期权的分类看涨期权（calloption）看跌期权（putoption）美式期权（Americanoption)欧式期权（Europeanoptions）期权是一种选择权，由于买方与卖方的不对等地位，买方需支付给卖方期权费。期权的有关术语空头、多头、标的物、到期日、期权费、执行价格（敲定价格）期权的损益到期日欧式期权损益状态期权种类到期损益欧式看涨期权多头欧式看涨期权空头欧式看跌期权多头欧式看跌期权空头0,maxXST0,minTSX0,maxTSX0,minXST期权的损益STX损益看涨期权多头损益XST看涨期权空头损益STX看跌期权多头STX损益看跌期权空头交易者的类型套期保值者：减少它们所面临的风险；投机者：希望在市场中持有某个头寸，他们打赌价格会上涨或下降。套利者：瞬间进入两个或多个市场的交易，以锁定一个无风险的收益。例如：如果发现某项资产的期货价格偏离了现货价格，他们就可以在者两个市场上持有相反的头寸来锁定盈利。期权的三种状态In-the-money:如果标的物股票的价格高于执行价，则此时买权处于实值状态；Out-of-the-money：如果股票标的物的价格低于执行价，则买权处于虚值状态；At-the-money:期权的执行价正好等于标的物股票的价格是，成为两平状态。期权的内涵价值假想期权马上要失效，此时期权的价值成为期权的内涵价值（intrinsicvalue).处于虚值状态的期权的内涵价值总为0。处于实值状态的期权未到期时，卖权的内涵价值是预定价减去标的物市场价格的差，买权的内涵价值则是标的物标的物市价减去预定价的差。在期权未到期前，期权的市价（期权费）往往大于期权的内涵价值。期权费减去期权的内涵价值的差是期权的时间价值。期权在失效前，即使处于虚值状态，标的物的价格的变化有可能使期权处于实值状态，时间价值存在，所以处于虚值状态的期权费同样可以大于0。期权定价的基本无套利关系1、买权的价值不高于标的物本身的价值，买权的价值从不高于预定价；2、欧式卖权的价值不高于预定价用无风险利率折现的现值。3、期权的价值决不为负。4、美式期权的价值决不低于欧式期权。5、距失效日时间长的美式期权的价值决不低于距失效日时间短的美式期权的价值。6、美式期权的价值决不低于现在马上就执行该期权所实现的期权的价值。期权定价的基本无套利关系其中t是目前的时间，S（T）是目前的股票的价格，X是预定价，C（t）和P（t）分别是目前美式买权和卖权的市场均衡价。假设股票的价格为100元，X为90元，6个月到期的美式美式股票买权的期权费为9元，就会出现套利机会，这时上述公式不成立。0,max0,maxtSXtPXtStC影响期权价格的因素有6中因素影响股票期权的价格：1、股票的现价2、执行价格3、到期期限4、股票价格的波动率5、无风险利率6、期权有效期内预计发放的红利。影响期权价格的因素一个变量增加而其他变量保持不变时，对股票期权价格的影响变量欧式买权欧式卖权美式买权美式卖权股票价格+-+-执行价格-+-+到期期限？？++波动率++++无风险利率+-+-红利-+-+期权价格的上限股票价格是买权的上限，即：预定价是欧式期权的的上限：tStctStCXpXP欧式期权的上限对于欧式卖权来说，我们知道在T时刻，期权的价值都不会超过X，因此现在期权的价值不会超过X的现值：如果不存在这一关系，则套利者可以出售期权并将所得收益以无风险利率进行投资，获得无风险收益。tTrXep不付红利的欧式买权的下限对于不付红利的欧式买权来说：证明：因为期权的价值不会为负，只需要证明：反证法：假设在t时刻卖空一股股票，购买一份欧式买权，同时购买价值为的无风险证券。即时现金流和到期的现金流为下表：0,maxtTXtStctTXtStctTXtStctTX证明交易即时现金流（时刻t）到期时现金流（时刻T）卖空一股股票S（t）-S（T）购买一份欧式买权-c（t）购买无风险证券X净现金流0,maxXTStTXtcXtStTXTSXTS0,max证明由于到期时净现金流不小于0，即时现金流大于0，出现无风险套利机会。由此得以证明。从而有：可以看出，当时，c（t）=S（t），即到期日很远的不分红的欧式买权的价值与标的物股票的价值一样。这只是一个数学现象而已。tStcXtStT0,maxT不分红股票的美式买权的下限由于美式买权的价值不小于欧式买权，因此：如果美式买权提前执行，实现的价值为：这显然小于期权应有的价值。于是：不分红股票的美式买权不可能提前执行。如果有人提前执行美式买权，就可以构筑无风险套利头寸。大家可以试试。0,maxtTXtStctC0,maxXtS美式买权与欧式买权既然美式买权不会提前执行，美式和欧式买权便无区别。应有：C（t）=c（t）不付红利的欧式看跌期权的下限为了给出证明我们考虑下面两个组合：组合A：一个欧式卖权加上一股股票；组合B：金额为的现金。如果S（T）X，在T时刻，欧式期权将被执行，A组合的价值为X，如果S（T）X，在T时刻欧式期权的价值为0，该组合的价值为S（T），因此组合A在T时刻的价值为：tTrfXeXsT,max不付红利的欧式看跌期权的下限假定现金按无风险利率进行投资，则在T时刻组合B的价值为X。因此在T时刻，组合A的价值不低于组合B的价值，并且组合A的价值会高于组合B的价值。再不存在套利机会时，组合A的现在价值一定高于组合B的现在价值。因此：即：tTrfXetStptSXetptTrf不付红利的欧式看跌期权的下限由于对于欧式卖权来说，最坏的情况是期权到期价值为0，所以期权的价值为正，这意味着：一个例子：有一个不付红利股票的欧式卖权，股票价格为38美元，执行价格为40美元，距到期日还有3个月，无风险利率为10%，根据上面的式子期权的价格的下限为：即：0,maxSXeptTrfSXetTrf美元01.1384025.0*1.0e美式卖权的下限如果提前执行美式卖权的时，在t时刻执行期权实现的价值为：如果卖权处于实值状态，且总有p（t）小于或等于X，和P（t）小于或等于X，此时如果S（t）很低时，就有可能出现p（t）X-S（t）和P（t）X-S（t）的情况。但美式卖权可以立即提前执行，所以理性的投资者不会让P（t）X-S（t）的情况出现。所以美式卖权不会低于其内涵价值，欧式期权则不然，实际上欧式卖权这时具有负的时间价值。otSX,max买权和卖权之间的平价关系根据上面的分析，我们有：下面推导p和c之间的重要关系。组合A：一个欧式买权加上金额为的现金。组合C：一个欧式卖权加上一股股票。在期权到期时，两个组合的价值都为：max(S(T),X),由于是欧式期权，到期日前不能提前执行。因此现在组合必须具有相等的价值，就是说：tctCtptPtTrfXetstpXetctTrf美式卖权的下限如果提前执行美式卖权的时，在t时刻执行期权实现的价值为：如果卖权处于实值状态，且总有p（t）小于或等于X，和P（t）小于或等于X，此时如果S（t）很低时，就有可能出现p（t）X-S（t）和P（t）X-S（t）的情况。但美式卖权可以立即提前执行，所以理性的投资者不会让P（t）X-S（t）的情况出现。所以美式卖权不会低于其内涵价值，欧式期权则不然，实际上欧式卖权这时具有负的时间价值。otSX,max买权和卖权之间的平价关系根据上面的分析，我们有：下面推导p和c之间的重要关系。组合A：一个欧式买权加上金额为的现金。组合C：一个欧式卖权加上一股股票。在期权到期时，两个组合的价值都为：max(S(T),X),由于是欧式期权，到期日前不能提前执行。因此现在组合必须具有相等的价值，就是说：tctCtptPtTrfXetstpXetctTrf买权和卖权之间的平价关系如果上式不成立则存在套利机会。假定价格为31元，执行价格为30元，无风险利率为10%，3个月期的欧式看涨期权的价格为3元，3个月期的看跌期权的价格为2.25元。在这种情况下，P+S=2.25+31=33.2526.3230325.0*1.0eXectTrf买权和卖权之间的平价关系相对于组合A来说，组合C被高估了。正确的套利策略式买入组合A的证券并卖空组合C中的证券。这包括买入看涨期权，卖空看跌期权和股票。这一策略产生如下正的现金流：-3+2.25+31=30.25当按无风险利率进行投资时，在3个后，这个现金流增加为30.25e0.1*0.25=31.02元。如果在期权到期日股票的价格高于30元，将执行看涨期权。如果价格低于30元，将执行看跌期权。在任何一种情况下，投资者均按30元购买一股股票。该股票可用来平仓元空头股票。因此净利为：31.02-30=1.02元买权和卖权之间的平价关系对另一种情况下，如果假定买权的价格未元而卖权的价格为1元。因此：P+S=1+31=32.00元相对于组合C来说，组合A被高估了。套利者可以卖空组合A中的证券并买入组合C中的证券来锁定利润。这包括卖出看涨期权，买入看跌期权和股票。在0时刻，这一策略的初始投资为：31+1-3=29元。当以无风险利率借入资金时，3个月后须偿付的金额为29e0.1*0.25=29.73元。26.3230325.0*1.0eXectTrf买权和卖权之间的平价关系与前例类似，或者是执行看涨期权，或者是执行看跌期权。因此卖出看涨期权并买入看跌期权将会使股票以30.00的价格售出。因此净利润为：30.00-29.73=0.27元美式买权和买权之间的关系买权和卖权之间的平价关系仅适用于欧式期权。但也可推导出不付红利股票的美式期权价格之间的关系。由于Pp，因此根据上面的关系有：Pc+Xe-r（T-t）-S同时，c=C，有：PC+Xe-r（T-t）-S或者C-PS-Xe-r（T-t）美式买权和买权之间的关系为了更进一步导出C与P的关系，考虑以下两个组合：组合A：欧式买权加上金额为X的现金。组合B：美式卖权加上一股股票。假定期权的执行价格和到期日相同。假定组合A中的现金按无风险利率进行投资。如果卖权没有提前执行，在T时刻，组合B的价值为：max（ST，X），此时组合A的价值为：max（ST，X）+Xer（T-t）-X因此组合A的价值高于组合B的价值。然后假定组合B的卖权提前执行，比如说在τ时刻执行。美式买权和买权之间的关系这意味着在时刻τ组合B的价值为X。然而，就算看涨期权的价值为0，组合A在时刻的价值应该是：Xer（τ-t）。即在任何情况下，组合A的价值都高于组合B的价值。因此：c+XP+S。由于c=C，C+XP+S或C-PS-X我们得到S-XC-PS-Xe-r（T-t）例题考虑不付红利的美式买权，执行价格为20元，到期期限为5个月，期权价格为1.5元。则同一股票相同执行价格和到期期限的欧式买权的价格也是如此。假定股票的现价位20元，到期期限为5个月的欧式卖权的价格为：1.50+