武汉理工大学数值分析考试试题及答案

1、①工程中数值方法的主要思想答：工程总，把理论与实际情况相结合，用数值方法直接求解较少简化的模型，及忽略一些无关的因素求出近似值，又使得到的景近似解满足程变得要求②数值方法中误差产生的原因答：当数值模型不能得到精确解释，通常要用数值方法求接触他的近似解，七近似解与精确解之间的误差称为截断误差。当用计算机做数值计算时，由于计算机的字长有限，原始数据在计算机上表示会产生误差，计算过程总中有产生误差，这种误差称为舍入误差。③数值方法应用对象由数学模型给出的数值计算方法，以及根据计算方法编制的法程序2、取x=1、2、2时f（x）=2、0、1，计算f(x)在x=21处得近似解xi123f（xi）201解：二次拉格朗日插值多项式为L（x）=20kkk)x(lyl0（x）=)xx)(xx()xx)(xx(201021=)31)(21()3x)(2x(=21（x-2）（x-3）l1（x）=)xx)(xx()xx)(xx(210120=)32)(12()3x)(1x(=-（x-1）（x-3）l2（x）=)xx)(xx()xx)(xx(120210=)23)(13()2x)(1x(=21（x-1）（x-2）则L（x）=20kkk)x(ly=l0（x）+l1（x）+l2（x）=21（x-2）（x-3）+（x-1）（x-3）+21（x-1）（x-2）=23x2-213x+7所以L（21）=23×（21）2_213×（21）+7=833即f(x)在x=21处得景近似解为8333、f（x）=（x-1）4，在1,1上计算范数1,ff与2f解f（x）=(x-1)4，x1,1,则f’(x)=4（x-1）3≦0所以f（x）=（x-1）4在1,1上单调递减f=)1(f),1(fmax)x(fmax1x1=160,16max114badxdx)x(f1)1x(f=115)5x(51=5322111x42d)1x(f=2111x8d)1x(=21119|)1x(91=32169294、对权函数2()1xx，区间[1,1]，试求首项系数为1的正交多项式(),0,1,2,3.nxn解：若2()1xx，则区间[1,1]上内积为11(,)()()()fgfxgxxdx定义0()1x，则11()()()()nnnnnxxxx其中1101211211211321122111221121((),())/((),())((),())/((),())(,1)/(1,1)(1)(1)0()(,)/(,)(1)(1)0(,)/(1,1)(1)(1)nnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxdxxdxxxxxxxxxdxxxdxxxxxdxx22162158532()5dxxx32222132211222122212221122132332222(,)/(,)555522()()(1)5522()()(1)55022(,)/(,)5522()()(1)55(1)136175251670152179()57014xxxxxxxxxdxxxxdxxxxxxxxdxxxdxxxxxxx5、求()0,1xfxe在0,1上的最佳一次逼近多项式。解：(),0,1(),()0xxxfxexfxefxe22122220()()11ln(1)()1()()()()221(1)ln(1)(1)221ln(1)2xxfbfaaebaeexefxeefafxfbfaaxabaeeee于是得()fx的最佳一次逼近多项式为11()(1)[ln(1)]221(1)[(1)ln(1)]2ePxexeexeee6、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：120121091260(1),8;4(1)(2),10;(3),4;(4)4sin,6;xxdxnxedxnxxdxndn解：21(1)8,0,1,,()84xnabhfxx复化梯形公式为781[()2()()]0.111402kkhTfafxfb复化辛普森公式为7781012[()4()2()()]0.111576kkkkhSfafxfxfb121(1)(2)10,0,1,,()10xenabhfxx复化梯形公式为9101[()2()()]1.391482kkhTfafxfb复化辛普森公式为99101012[()4()2()()]1.454716kkkkhSfafxfxfb(3)4,1,9,2,(),nabhfxx复化梯形公式为341[()2()()]17.227742kkhTfafxfb复化辛普森公式为33410122[()4()2()()]17.322226(4)6,0,,,()4sin636kkkkhSfafxfxfbnabhfx复化梯形公式为561[()2()()]1.035622kkhTfafxfb复化辛普森公式为5561012[()4()2()()]1.035776kkkkhSfafxfxfb18.628283710-4.4469232110因此0I320(3)1Ixxdxk()0kT()1kT()2kT()3kT()4kT()5kT014.2302495111.171369910.1517434210.443796910.201272510.2045744310.266367210.207224010.207620710.2076691410.222270210.207571210.207594310.207593910.2075936510.211260710.207590910.207592210.207592210.207592210.2075922因此10.2075922I7、对1(),()[,]fxgxCab，定义(1)(,)()()(2)(,)()()()()babafgfxgxdxfgfxgxdxfaga问它们是否构成内积。解：(1)令()fxC（C为常数，且0C）则()0fx而(,)()()bafffxfxdx这与当且仅当0f时，(,)0ff矛盾不能构成1[,]Cab上的内积。(2)若(,)()()()()bafgfxgxdxfaga，则(,)()()()()(,),(,)[()]()()()[()()()()](,)bababagfgxfxdxgafafgKfgfxgxdxafagafxgxdxfagafg1[,]hCab,则(,)[()()]()[()()]()()()()()()()()()(,)(,)babbaafghfxgxhxdxfagahafxhxdxfahafxhxdxgahafhhg22(,)[()]()0bafffxdxfa若(,)0ff，则2[()]0bafxdx,且2()0fa()0,()0fxfa()0fx即当且仅当0f时，(,)0ff.故可以构成1[,]Cab上的内积。8、已知一组实验数据如表，求它的拟合曲线。xi12345f（xi）43542wi11211解：设拟合曲线平p（x）=a0+a1，这里取1)x(0，x)x(1，故6w,40ii00；18xw)x()x(w,40iii40i10i1064w)x()x(w,40i21i40i11i1123)x(fwf,i40ii0；66)x(fxwf,i40iii1由法方程1,0k,da),(jn0jjjk得线性方程组66a64a1823a18a61010103a1571a10于是所求拟合曲线P（x）=x10315719、求解1xx2，（1）牛顿法，（2）二分法解：牛顿法：设f（x）=1xx2，牛顿迭代格式为：1x2)x('f,1x......3,2,1k,)x('f)x(fxx0kkk1k取则32311)x('f)x(fxx0001；2113379132)x('f)x(fxx11129876101212644112113)x('f)x(fxx2223...此方法算得的)x(fk越来越趋近于零。二分法：f（x）=1xx2，则f（-1）=1，f（1）=-1，①f（-1）f（1）0的实根在1,1之内②设a=-1,b=1,取b,a的中点1-0f,0x0）（而0,)x(f的实根在0,1之内，则令1bb,1aa11，③取11b,a的中点41-21-f,21x1）（而0,)x(f的实根在21,1之内,则令21bb,1aa22，......如此反复下去，当为预定的精度的整数，1k,xxk由此便可求得符合精度要求的解10、写出线性方程组⑴雅克比行列式⑵高斯—赛德尔迭代法解：见课本187到190