求不定积分的方法及技巧小汇总

求不定积分的方法及技巧小汇总~1.利用基本公式。（这就不多说了~）2.第一类换元法。（凑微分）设f(μ)具有原函数F(μ)。则CxFxdxfdxxxf)]([)()]([)(')]([其中)(x可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：例1：dxxxxx)1(ln)1ln(【解】)1(1111)'ln)1(ln(xxxxxxCxxxxdxxdxxxxx2)ln)1(ln(21)ln)1(ln()ln)1(ln()1(ln)1ln(例2：dxxxx2)ln(ln1【解】xxxln1)'ln(Cxxxxxdxdxxxxln1)ln(ln)1(ln1223.第二类换元法：设)(tx是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('ttft又设具有原函数，则有换元公式dtttfdxf)(')]([x)(第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：achtxtaxtaxaxashtxtaxtaxaxtaxtaxxa；；：；；：；：cscsec)3(cottan)2(cossin)1(222222也奏效。，有时倒代换当被积函数含有：：txcbxaxxtdcxbaxdcxbaxtbaxbaxmnnnn1)6()5()4(24.分部积分法.公式：dd分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取、时，通常基于以下两点考虑：（1）降低多项式部分的系数（2）简化被积函数的类型举两个例子吧~！例3：dxxxx231arccos【解】观察被积函数，选取变换xtarccos,则tdttdtttttdxxxx3323cos)sin(sincos1arccosCxxxxxCttttttdttttdtttttttttdtdttarccos1)2(313291cos91cos32sinsin31cos)1sin31(sinsin31)sinsin31(sinsin31)sinsin31(sin)1(sin22333233332例4：xdx2arcsin【解】dxxxxxxxdx22211arcsin2sinarcsinCxxxxxdxxxxxxxxxdxx2arcsin12arcsin121arcsin12arcsin1arcsin2arcsin22222上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在dd中，、的选取有下面简单的规律：选取的函数不能改变。，会出现循环，注意，，，)3(sin,cos)3()(arcsin,arctan,ln)2(cos,sin,)()1(xxexPxxxaxaxexPaxmaxm将以上规律化成一个图就是：μν（lnxarcsinx）Pm(x)（a^xsinx)但是，当xxarcsinln，时，是无法求解的。对于（3）情况，有两个通用公式：CbxbbxabaedxbxeICbxbbxabaedxbxeIaxaxaxax)sincos(cos)cossin(sin222221（分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx的不定积分》中，常可以看到分部积分）5.几种特殊类型函数的积分。（1）有理函数的积分有理函数)()(xQxP先化为多项式和真分式)()(*xQxP之和，再把)()(*xQxP分解为若干个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现nnxadxI)(22时，记得用递推公式：121222)1(232))(1(2nnnInanaxnaxI）例5：dxxxxxx223246)1(24【解】223222346223246)1(24)1()1(24xxxxxxxxxxxx22322)1(241xxxxx2222422242223222)1(12)1(24)1(24)1ln(211xdxxxxxdxxxxdxxxxCxdxxxCxxCddd)1(1111))1(11()1()1()1(122222222222故不定积分求得。（2）三角函数有理式的积分万能公式：2tan12tan1cos2tan12tan2sin222xxxxxx化为有理函数可用变换2tan)cos,(sin)cos,(sinxtdxxxQxxP的积分，但由于计算较烦，应尽量避免。对于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成xxxxsincoscossin或。再用待定系数xbxaxbxaBxbxaAsincos)sin'cos'()sincos(来做。（注：没举例题并不代表不重要~）（3）简单无理函数的积分一般用第二类换元法中的那些变换形式。像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现xx1和时，可令tx2tan；同时出现xx1和时，可令tx2sin；同时出现xxarcsin12和时，可令x=sint；同时出现xxarccos12和时，可令x=cost等等。