求函数最值常用的方法及经典例题讲解

-1-求函数最值常用的方法及经典例题讲解知识点：一、函数最大（小）值定义最大值：一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有()fxM；（2）存在0xI，使得0()fxM．那么，称M是函数()yfx的最大值．思考：依照函数最大值的定义，结出函数()yfx的最小值的定义．注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0xI，使得0()fxM；②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有()(())fxMfxm．二、求函数最大（小）值常用的方法．案例分析：例1、画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？①()3fxx②()3[1,2]fxxx③2()21fxxx④2()21[2,2]fxxxx-2-类型一、直接观察法对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。例1、求函数1,[1,2]yxx的值域例2、若函数xxf2log21)(，则该函数在（1，+∞）上（）A、单调递减，无最小值B、单调递减，有最小值B、单调递增，无最大值D、单调递增，有最大值小试牛刀：1、求函数21yx在区间[2，6]上的最大值和最小值．2、求函数xxxf326在[-1，2]上的最小值？3、已知,22yx求23xy的取值范围。-3-5522xxxf类型二、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)例：求函数3456xyx值域。实战训练场：1)求函数213xxy的值域；2)函数.11的值域是xxy类型三、倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例1、求函数23xyx的值域。例2、求函数的值域。-4-类型四、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一(二次函数）（02acbxaxy]44(0);44[022abac，，a，abac，a值域是时值域是时)。例、求函数225,yxxxR的值域。实战训练场：1、]53(232，求函数xxxy的值域；2、求562xxy函数的值域；类型五、根判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简例1、求222231xxyxx的最值-5-例2、求函数xxy1的值域；例3、已知函数)(12Rxxbaxy的值域为,4,1求常数ba,实战训练场：（1）求函数122xxxxy的值域(2)求函数3274222xxxxy的值域二、),(2fexnmxcbxaxy类型解法：用代定系数法将它化为2()()()pmxnqmxnkkypmxnqmxnmxn(),kbptqtmxnyaxtx再利用函数的图象和单调性来解。例1、求2335(2)22xxyxx的最小值-6-三、2([,])mxnyxefaxbxc类型解法：用代定系数法将它化为：211(),()()()mxnytmxnkkpmxnqmxnkpmxnqptqmxnt再利用函数byaxx的图象和单调性来解。例1、求22(56)36xyxxx的最值变式训练：1、求函数.)25(42542的值域xxxxy2、函数4522xxy的最小值？类型六、换元法：“;)0(dcxtacdcxbaxy的函数，可令形如例1、求函数xxy142的值域-7-例2、求函数1yxx的最大值．练习：(1)求函数.12的值域xxy类型七、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例1：求函数11xxeey的值域。例2、求出下列函数的值域：1、y=xsin112、y=xcos2例3、求函数xxycos2sin2的最大值和最小值-8-例4、求函数cos11sin2,sin11sin2yy的值域。类型八、函数单调性法例1.求函数)10x2(1xlog2y35x的值域。类型九、一一映射法原理：因为)0c(dcxbaxy在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。例1、求函数1x2x31y的值域。例2、设函数y=|x2-x|+|x+1|，求-2≤x≤2时，y的最大值和最小值．-9-例3、已知函数,21log321x求函数4log2log22xxy的最大值和最小值。例3、已知,1log121x求函数2214411xxy的最大值和最小值。1、求函数|3||1|yxx的最大值和最小值．2、求函数的值域|4||1|xxy3．已知直线012:yxl和点A（-1，2）、B（0，3），试在l上找一点P，使得PBPA的值最小，并求出这个最小值。-10-4.已知点(1,1)A，(2,2)B，点P在直线xy21上，求22PBPA取得最小值时P点的坐标。5.求函数22()2248fxxxxx的最小值。6、求函数22)8x()2x(y的值域。8、求函数5x4x13x6xy22的值域。9、求函数5x4x13x6xy22的值域。-11-10、求函数4814822xxxxxf的最小值和最大值。11、若Ryx,且满足:,0222yxxyyx则maxxminy。12、若.41,,22yxRyx求22yxyxu的最值。13、设，且2120,0yxyx求当yx,为何值，)148(log231yxyu取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值。-12-14、已知,0623,22xyxRyx且求222yx的值域。