求多边形的方法

1华师版七年级下第8章学习指导求多边形边数的方法王远征广东省深圳市蛇口中学518067算术方法我们知道：对于边数是n的凸多边形而言，其外角的和是常数即360º，与多边形的边数无关。当已知正多边形的一个外角（或内角）度数大小时，可直接由360求出边数。例1．已知一个正多边形的每个外角都是72º，求多边形的边数。解：因为外角的和是360º，所以，边数=572360例2．已知一个正多边形的每个内角都是144º，求多边形的边数。解：因为正多边形的每个外角都是180º－144º=36º而外角的和是360º，所以边数=1036360评注：这种方法对于求正多边形的边数的问题是十分有效的，避免了代入内角和公式1802n计算时，导致的大量的运算。代数方法我们知道：对于边数是n的凸多边形，其内角的和是1802n，与多边形的边数有关。利用内角的和公式，列方程（组）求边数。例3．凸多边形除去一个内角之外，其余内角的和为2570º，求边数和该内角的大小。解：设该内角的度数为度，边数为n。由内角和公式1802n得：25701802n1805016n因为n为正整数，1800所以：13018050171161805016n评注：利用隐含条件：“n为正整数，1800”，求出满足二元一次不定2方程的正整数解，是解答上述类型的问题的一般方法。例4、一个凸多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和是2520º，求原多边形的边数。分析：一个凸多边形截去一个角后，会出现三种情况：（1）边数与原凸多边形的边数一样，如图1；（2）边数比原凸多边形的边数减少1条，如图2；（3）边数比原凸多边形的边数多1条，如图3。解：（1）边数与原凸多边形的边数一样，设边数为n。1625201802nn（2）边数比原凸多边形的边数减少1条，边数为15n；（3）边数比原凸多边形的边数多1条，边数为17n。评注：考虑问题必须周密，防止出现遗漏。如图1如图2如图3例4、已知两个凸多边形的内角和是3600º，并且两个凸多边形的边数比是1：2，求两个多边形的边数。解：依题意设两个多边形的边数分别是n、n2，则：83600180221802nnnn2=16。两个多边形的边数分别为8和16。同步练习：1．个凸多边形的每个内角的度数都是150º，求它的边数。解法1：因为多边形的每个内角的度数都是150º，所以，多边形的每个外角的度数都是180º－150º=30º，因为凸多边形外角和=360º，所以边数=360÷30=12。解法2：1802n=150n=1232．各个内角都相等的凸多边形中，一个外角等于它相邻内角的21，求这个多边形的每一个内角的度数和它的边数。解法1：因为一个外角与它相邻内角的和=180º，设内角为x度所以12018021xxx,1802n=120nn=63．凸n边形的内角和与外角和之比是9∶2，求n的值。解：11293601802nn4．两个多边形的边数之比是3：2，内角和之比是7：4，求两个多边形的边数。答案：设两个多边形的边数分别是：xx2,3。3471802218023xxx。边数分别是9，6。