普通高中课程标准实验教科书数学5(人民教育B版)

普通高中课程标准实验教科书数学5（人民教育出版社B版）第二章数列陈爱华(北京市育英学校)一、新课标解读数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。在本模块中，学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。内容与要求（1）数列的概念和简单表示法通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数。（2）等差数列、等比数列①通过实例，理解等差数列、等比数列的概念。②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式。③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。解读（1）教学中，教师应引导学生通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种表示方法，揭示数列是一类特殊函数的本质属性，是反映自然规律的基本数学模型之一。重视通过具体实例（如教育贷款、购房贷款、人口增长等）使学生理解等差等比数列模型的作用，培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力。（2）新课标要求在数列的教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的关系，但训练要控制难度和复杂程度。这体现了《课程标准》在内容处理上的一个原则：删减繁琐的计算、人为技巧化难题和过分强调细枝末节的内容。（3）要学生掌握并能应用等差等比数列有关公式解题，还在能力上要求学生会用归纳、叠加、叠乘、倒序相加、错位相减等方法解决数列综合问题（4）新课标要求教学上要注重数列的实际应用，关注学生对数列模型本质的理解，以及培养运用数列模型解决实际应用问题的能力二、地位与作用数列是高中数学的重要内容之一，其地位作用体现在以下四个方面：（1）数列是一种特殊的函数，它既与函数等知识有密切的联系，又丰富了函数的内容。同时数列知识还蕴含了丰富的数学思想和方法，如函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想、整体思想等。（2）数列内容的教学突出学生的逻辑思维能力、运算能力、解决实际问题能力的培养。学习数列要经常观察、比较、分析、概括，还要运用归纳、演绎进行推理，解决与生产生活有关的数学问题，同时要求学生正确的运用公式进行运算、处理数据。（3）数列知识是承前启后的内容，以前学过的数、式、方程、简易逻辑、函数等知识都能在本章得到充分应用，数列与函数、三角、不等式、数学归纳法、解析几何、立体几何等有广泛的联系，有很强的综合性，是高中代数中培养学生综合能力的好素材。（4）数列有着广泛的实际应用，是反映自然规律的基本数学模型。数列知识，特别是等差数列、等比数列等知识结合社会实际需要解决了众多实际应用问题，如银行利息的计算、产品规格的设计、堆放物品的数量计算、人口增长、细胞分裂等。对于数列的学习，有助于培养学生的建模能力，发展应用意识。三、教学目标（1）了解数列的概念，掌握数列的几种表示法，了解数列是一种特殊的函数，能根据数列的前几项写出简单数列的通项公式。能根据项数多少、数列的性质对数列进行分类。（2）理解等差数列和等比数列的概念，会用定义判断已知数列是否是等差数列或等比数列，会求两个已知数的等差中项和等比中项。（3）掌握等差数列和等比数列的通项公式，前n项和公式，并能应用公式解决相关的问题。（4）能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能构建等差数列或等比数列模型解决相应的实际问题。（5）体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。（6）培养数学思维能力，优化思维品质，学会观察、类比、归纳、猜想等思维方式，提高运算和论证能力，养成既能大胆猜想，又能严格证明的科学作风。四、重点与难点本章的重点是数列的概念，等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。本章的难点是等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式的推导及它们的综合应用。五、教学内容及课时安排（约13课时）21数列2课时211数列的基本概念212数列的递推公式（选学）22等差数列221等差数列2课时概念及等差中项通项公式应用222等差数列的前n项和2课时公式推导及应用归纳与倒序相加法应用23等比数列231等比数列2课时概念及等比中项通项公式232等比数列的前n项和2课时公式推导及应用构造与错位相减法应用小结与复习3课时概念及性质应用数列的通项、数列求和综合应用六、教学建议1.发展学生的数学应用意识（1）概念课的教学中，设置直观、生动的实际背景，使学生通过日常生活中的实例归纳出数列、等差数列、等比数列的概念让学生体会到数学就在身边。（2）除了让学生体会到数学知识来源于客观世界，还应该让学生感受到数学是解决实际问题的重要工具，发展学生的数学应用意识。（例贷款、储蓄等问题）2发展学生的数学能力数列一章的思维过程主要是：直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、运算求解、演绎证明等。这有助于学生对客观事物中蕴涵的数学对象进行思考和作出判断，提高数学思维能力，提高学生的建模能力。在教学中注重培养学生归纳——猜想——证明的思维模式解决问题。给学生留出足够的自主探索，独立思考的空间。教材在页边处编排了一些带有“？”的边框，提出了值得学生思考的问题，让学生能够用好教材，自我发展。3注重方法的教学与落实，把握好难度等差数列的通项公式是通过归纳法或叠加法得到的，前n项和公式是通过倒序相加的办法求出来的；等比数列的通项公式是通过归纳法或叠乘法得到的，前n项和公式是通过构造方程法或错位相减法而得到的能力上要求学生会用归纳、叠加、叠乘、倒序加、错位减等技巧解决数列综合问题在教学中，注意例题的选取，应致力于打好基础并进行初步的综合训练，把握好难度，不要过早地进行针对“高考”的综合性训练，从而影响了基本内容的学习和加重学生负担。例如在学习数列的递推公式时，不要去搞涉及递推公式变形的论证、计算问题，只要会根据递推公式求出数列的前几项就行了；在研究数列求和问题时，不要涉及过多的技巧4加强数列内容与函数的联系（1）数列的本质是函数，数列是一种定义域为正整数集(或它的前n个数组成的有限子集)的函数在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的，“次序”便是函数的自变量，相同的数组成的数列，次序不同则就是不同的数列．函数表示法有列表法、图象法、解析式法，类似地，数列就有列举法、图示法、通项公式法．由于数列的自变量为正整数，于是就有可能相邻的两项（或几项）有关系，从而数列就有其特殊的表示法——递推公式法．（2）等差数列与一次函数、二次函数的联系奎屯王新敞新疆从等差数列的通项公式可以知道，公差不为零的等差数列的每一项an是关于项数n的一次函数式奎屯王新敞新疆于是可以利用一次函数的性质来认识等差数列奎屯王新敞新疆首项为1a、公差为d的等差数列前n项和的公式可以写为dnnnaSn2)1(1，即当0d时，nS是n的二次函数式，于是可以运用二次函数的观点和方法来认识求等差数列前n项和的问题奎屯王新敞新疆（3）等比数列与指数型函数的联系奎屯王新敞新疆由于首项为1a、公比为q的等比数列的通项公式可以写成nnnqqaqaa111，它的前n项和公式为qqaSnn1)1(1)1(q，它与指数函数y=xa有着密切联系，从而可利用指数函数的性质来研究等比数列奎屯王新敞新疆5注意等差数列与等比数列的对比，突出两类数列的基本特征等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，包括：定义、性质、通项公式、前n项和的公式、两个数的等差(等比)中项奎屯王新敞新疆因此在教学与复习时可采用对比方法，以便于弄清它们之间的联系与区别。6.建议在2.1节数列的概念教学中补充数列前n项和的概念每个数列都有前n项和问题，所以在2.1节数列的概念课中应补充前n项和的概念，用nS表示na的问题是重点问题，可先提出一个具体问题让学生分析nS与na的关系，再由特殊到一般，研究其一般规律，并给出严格的推理证明（强调na的表达式是分段的）；之后再到特殊问题的解决，举例时要兼顾结果可合并及不可合并的情况．