最新人教版八年级数学下册第十七章_勾股定理导学案(全章)

1第十七章勾股定理第一课时17.1勾股定理（1）学习目标：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。学习重点：勾股定理的内容及证明。学习难点：勾股定理的证明。学习过程：一、自主学习画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。（勾3，股4，弦5）。以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42_____52，52+122_____132，那么就有_____2+_____2=_____2。(用勾、股、弦填空)对于任意的直角三角形也有这个性质吗？勾股定理内容文字表述：几何表述：二、交流展示例1、已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。求证：a2＋b2=c2。分析：⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正即4×21×＋﹝﹞2＝c2,化简可证。⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。⑷勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。abcc2例2已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。求证：a2＋b2=c2。分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。左边S=_____________右边S=_____________左边和右边面积相等，即_________________________化简可得_______________________三、合作探究1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则⑴c=。（已知a、b，求c）⑵a=。（已知b、c，求a）⑶b=。（已知a、c，求b）2．如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。3、4、532+42=525、12、1352+122=1327、24、2572+242=2529、40、4192+402=412…………19，b、c192+b2=c23．△ABC的三边a、b、c，（1）若满足b2=a2＋c2，则=90°；（2）若满足b2＞c2＋a2，则∠B是角；（3）若满足b2＜c2＋a2，则∠B是角。四、达标测试1．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是()2．斜边长为25B．三角形的周长为25C．斜边长为5D．三角形面积为203．一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2，另一直角边长为6，则斜边长为（）A．4B．8C．10D．12bbbbccccaaaabbbbaaccaa3ACBD4．直角三角形的两直角边的长分别是5和12，则其斜边上的高的长为（）A．6B．8C．1380D．13605、已知，如图1-1-5，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求CFCE第二课时17.1勾股定理（2）教学目标：1．会用勾股定理进行简单的计算。2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。重难点：1．重点：勾股定理的简单计算。2．难点：勾股定理的灵活运用。一、自主学习1．勾股定理的具体内容是：。2．如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系：；⑵若D为斜边中点，则斜边中线与斜边的关系：；⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边的关系：；⑷三边之间的关系：。二、交流展示例1、在Rt△ABC，∠C=90°⑴已知a=b=5,求c。⑵已知a=1,c=2,求b。⑶已知c=17,b=8,求a。⑷已知a：b=1：2,c=5,求a。⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。ABCDEF图1-1-54DCBA分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。⑴已知_________边，求________边,直接用_______定理。⑵⑶已知_____边和_______边，求__________边，用勾股定理的变形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。例2、已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。三、合作探究例3、已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。⑴求等边△ABC的高.⑵求S△ABC。分析：勾股定理的使用范围是在_________三角形中，因此注意要创造_______三角形，作____是常用的创造______三角形的辅助线做法。欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中。5ACBD四、达标测试1．填空题⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=。⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=。⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a=，b=。⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。2．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。3．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。第三课时17.1勾股定理（3）学习目标：1．会用勾股定理解决简单的实际问题。2．树立数形结合的思想。重点：勾股定理的应用。难点：实际问题向数学问题的转化。学习过程：一、自主学习填空:在Rt△ABC，∠C=90°，⑴如果a=7，c=25，则b=。⑵如果∠A=30°，a=4，则b=。⑶如果∠A=45°，a=3，则c=。⑷如果c=10，a-b=2，则b=。⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c=。⑹如果b=8，a：c=3：5，则c=。BCDA630ABCACBRPQ二、交流展示例1（教材P25页例1）分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。⑵探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。⑸小结深化数学建模思想，激发兴趣。三、合作探究例2（教材P25页例2）如图，一个3米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？（计算结果保留两位小数）分析：要求出梯子的底端B是否也外移0.5米，实际就是求BD的长，而BD=OD-OB四、达标测试1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米。3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。2题图3题图4题图5题图4．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为。DABCOBDCＣACAOBOD7CAB5．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ=厘米。6．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米。7．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？8．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。（精确到1米）第四课时17.1勾股定理（4）教学目标1．会用勾股定理解决较综合的问题。2．树立数形结合的思想。重难点1．重点：勾股定理的综合应用。2．难点：勾股定理的综合应用。一、自主学习如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.ACBDEF8BACD例4（教材P26页探究）分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。（变式训练：在数轴上画出表示22,13的点。）二、交流展示例1：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=3，求线段AB的长。分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。三、合作探究1、探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示13的点吗？9分析：(1)若能画出长为13的线段，就能在数轴上画出表示13的点.(2)由勾股定理知，直角边为1的等腰Rt△，斜边为2．因此在数轴上能表示2的点．那么长为13的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？在数轴上画出表示17的点？（尺规作图）2、如图：螺旋状图形是由若干个直角三角形所组成的，其中①是直角边长为1的等腰直角三角形。那么OA1＝,OA2＝,OA3＝,OA4＝,OA5＝,OA6＝,OA7＝,…,OA14＝,…,OAn＝.四、达标测试1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC=，S△ABC=。2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=32cm，则∠A=度，∠B=度,∠C=度，BC=，S△ABC=。3．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=32，CD⊥AB于D，则AC=，CD=，BD=，AD=,S△ABC=。4．已知：如图，在△ABC中，ADBC于D，AB=6，AC=4，BC=8，求BD，DC的长.5●●●●●●O12345●●●●●●O1234DACB218-x64x105、已知：如图，四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°,∠B=∠D=90°.求四边形ABCD的面积。第五课时17.2勾股定理的逆定理（1）教学目标1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。重难点1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。2．难点：勾股定理的逆定理的证明。一、自主学习1.说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？⑴同旁内角互补，两条直线平行。⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。2.勾股定理的逆定理______________________________________________________________________________小结注：(1)每一个命题都有逆命题.(2)一个命题的逆命题是否成立与原命题是否成立没有因果关系.