抽象函数模型化总结(珍藏版)

1高三数学总复习——抽象函数所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法。常见的抽象函数对应的初等函数模型如下:初等函数模型抽象函数性质正比例函数()(0)fxkxk()()()fxyfxfy一次函数()(0)fxkxbk()()()fxybfxfy幂函数()nfxx()()()()()()xfxfxyfxfyfyfy或二次函数2()fxaxbxc（a≠0）f（x+y）=f（x）+f（y）+2axy-c指数函数()(01)xfxaaa且()()()()()()fxfxyfxfyfxyfy或对数函数()log(01)afxxaa且()()()()()()xfxyfxfyffxfyy或或f(xm)=mf(x)余弦函数()cosfxx()()2()()22xyxyfxfyff()()2()()fxyfxyfxfy正切函数()tanfxx()()()1()()fxfyfxyfxfy下面从这一认识出发，例谈七种类型的抽象函数及其解法。（备注：解小题可参对应的具体函数，解大题得赋值，可在草纸上借助具体函数验证赋值所得结果是否正确。另并不是所有的抽象函数都能找到中学阶段所学的初等函数，此时，只能通过赋值解决问题。）一．以正比例函数为模型的抽象函数正比例函数ykx是满足函数恒等式()()()fxyfxfy的最常见的模型。若我们能从这个具体的模型出发，根据解题目标展开联想，给解题带来了思路。例1、已知函数()fx对任意实数,xy，均有()()()fxyfxfy，且当0x时，()0fx，(1)2f，求()fx在区间[－2，1]上的值域。分析：由题设可知，函数()fx是(0)ykxk的抽象函数，因此求函数2()fx的值域，关键在于研究它的单调性。解：设，∵当，∴，∵，∴，即，∴f（x）为增函数。在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝2f（0），∴f（0）＝0，故-f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，∴f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2f（－1）＝－4，∴f（x）的值域为［－4，2］。二、以一次函数为模型的抽象函数一次函数y=ax+b是满足函数恒等式f（x+y）=f（x）+f（y）-b的最常见的模型。例2、已知函数f（x）对任意,xyR，满足条件f（x）＋f（y）＝2+f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式2223faa的解。分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。解：设，∵当，∴，则，即，∴f（x）为单调增函数。∵，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴，∴，即，解得不等式的解为－1a3。三、以幂函数为模型的抽象函数幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。由幂函数的运算法则知()nfxx是我们最熟悉的满足恒等式()()()()()()xfxfxyfxfyfyfy或的函数。例3、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当时，。3（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；（3）若，求a的取值范围。分析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在［0，＋∞）上是增函数。解：（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴f（－x）＝f（x），∴f（x）为偶函数。（2）设，∴，，∵时，，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上是增函数。（3）∵f（27）＝9，又，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又，故。四、二次函数型的抽象函数例4.定义在R的函数()fx满足()()()2fxyfxfyxy，(1)2f，则(3)f等于（）A．2B．3C．6D．9解：法一;设函数为2()fxaxbxc，由()()()2fxyfxfyxy得到2()fxxbx，又由(1)2f，1b，知2()fxxx，(3)6f；法二：(3)(1)(2)43(1)6,0(0)(11)(1)(1)2(1)fffffffff所以(3)6f法三：20(0)()()()2ffxxfxfxx(1)(1)2ff(1)0f(2)2(1)26ff(3)(1)(2)412fff2(3)(3)23(3)6fff5、以指数函数为模型的抽象函数4由指数函数的性质知)1,0(aaayx是满足恒等式()()()()()()fxfxyfxfyfxyfy或的重要函数之一。例5、已知函数()fx对于一切实数x、y满足f(0)≠0，()()()fxyfxfy，且当x0时，()fx＞1（1）当x＞0时，求()fx的取值范围（2）判断()fx在R上的单调性分析：由()()()fxyfxfy可知f（x）是指数函数()(01)xfxaaa且的抽象函数，从而可猜想01a解：（1）对于一切x、y∈R，()()()fxyfxfy且f(0)≠0令x=y=0，则f(0)=1，现设x＞0，则-x＜0，∴f(-x)＞1又f(0)=f(x-x)=()fx()fx=1∴()fx=)(1xf＞1∴0＜()fx＜1（2）设1x2x，1x、2x∈R，则1x－2x0，f(1x－2x)＞1且)()()()()()()()(212221222121xxfxfxfxxfxfxxxfxfxf＞1∴12()()fxfx，∴f(x)在R上为单调减函数六、以对数函数为模型的抽象函数由对数函数的性质知()log(01)afxxaa且是满足恒等式()()()()()()xfxyfxfyffxfyy或的重要函数之一。例6、已知函数()fx定义域为(0,+∞)且单调递增，满足f(4)=1，()()()fxyfxfy（1）证明：f(1)=0；(2)求f(16)；（3）若()fx+f(x-3)≤1，求x的范围；（4）试证f(nx)=n()fx（n∈N）分析：由()()()fxyfxfy可知f（x）是对数函数()log(01)afxxaa且的抽象函数，解:（1）令x=1，y=4，则f(4)=f(1×4)=f(1)+f(4)∴f(1)=0（2）f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=2(3)()fx+f(x－3)=f［x(x－3)］≤1=f(4)()fx在（0，+∞）上单调递增∴(3)414303430xxxxxxx∴x∈（3，4]（4）∵()()()fxyfxfy∴()()()nnfxfxxxxnfx个例7、设f(x)是定义在R+上的增函数，且f(x)=)(yxf+f(y)，若f(3)=1，2)51()(xfxf，求x的取值范围。分析：由f(x)=)(yxf+f(y)可知f（x）是对数函数()log(01)afxxaa且的抽象函数解：∵f(3)=1∴f(3)+f(3)=2∴f(39)+f(3)=f(9)=2∵f(x)=)(yxf+f(y)即f(x)-f(y)=)(yxf∴)]5([)51()(xxfxfxf5∴f[x(x-5)]f(9)∵f(x)是定义在R+上的增函数∴9)5(050xxxx解得：2615x七、以三角函数为模型的抽象函数如满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）或f（x）+f（y）)2()2(2yxfyxf的函数便是以余弦函数为模型的抽象函数；而满足f（x+y）)()(1)()(yfxfyfxf的抽象函数，则常以正切函数为模型进行联想。例8、设函数()fx满足()()2()()22xyxyfxfyff，且f(2)=0，x、y∈R；求证：()fx为周期函数，并指出它的一个周期。分析：由()()2()()22xyxyfxfyff和12coscosxx=2cos221xxcos221xx知，本题应是以余弦函数()cosfxx为模型的函数解：令1x=x+，2x=则()()2()()22fxfxfxf=0∴()()(2)()fxfxfxfx∴()fx为周期函数且2π是它的一个周期。例9、已知函数()fx满足1()(1)1()fxfxfx，若(0)2004f，试求f(2005)。分析：由1()(1)1()fxfxfx和tan(x+4)=1tan1tanxx可知，本题应是以正切函()tanfxx为模型的函数解∵1(1)(2)[(1)1]1(1)fxfxfxfx=)(1)(11)(1)(11xfxfxfxf=-)(1xf∴1(4)[(2)2]()(2)fxfxfxfxf(x+4)=()fx∴()fx是以4为周期的周期函数又∵f(0)=2004∴1(2004)(2005)(20041)1(2004)ffff=1(0)1(0)ff=1200412004=-20052003∴f(2005)=-20052003综上所述，由抽象函数问题的结构特征，联想已学过的具有相同或相似结构的基本函数，并由基本函数的相关结构，预测、猜想抽象函数可能具有的性质“抽象—具体—抽象”的模型化思考方法，借此可帮助同学们捕捉到有益的解题信息，可使抽象函数问题顺利获解。练习：1、函数f(x)为R上的偶函数，对xR都有(6)()(3)fxfxf成立，若(1)2f，则(2005)f=（B）A.2005B.2C.1D.0提示：先令3x62.f(x)的定义域为(0,)，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2，则(2)f（12）3.的值是则且如果)2001(f)2000(f)5(f)6(f)3(f)4(f)1(f)2(f,2)1(f),y(f)x(f)yx(f。（2000）4．对任意整数yx,函数)(xfy满足：1)()()(xyyfxfyxf，若1)1(f，则)8(f（c）A.-1B.1C.19D.435.定义在R的函数()fx满足()()()2fxyfxfyxy，(1)2f，则(3)f（）A．2B．3C．6D．96．设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x0时f(x)0,且f(1)=-2,求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值.7.已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有1212()()()fxxfxfx，且当1x时()0,(2)1fxf，（1）f(x)在(0,+∞)上是增函数；（2）解不等式2(21)2fx高三数学总复习——函数的周期性与对称性（同号看周期，异号看对称）编号周期性对称性1axfaxf→T=2aaxfaxf→对称轴axyfxa是偶函数；axfaxf→对称中心（a,0）yfxa是奇函数2xbfxaf→T=abxbfxaf→对称轴2bax；xbfxaf