拓扑学心得

拓扑学心得体会姓名：贾文琳学号：201102024016班级2011级数师一班摘要：拓扑学是一门抽象的学科，是一门研究几何图形在连续变形下保持不变的性质的学科，也是一门在现代数学、自然科学以及社会科学等众多领域中应用极为广泛的数学学科。它源于对周围世界的直观观察。它是几何学的一个分支，但又与通常的欧式几何是不同的几何学分支，通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质，而拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都没有关系。因此，它以一种独特的视角去将世界数学化。关键词：几何学分支数学化抽象初识拓扑学，是在数学建模培训的时候，当时是老师介绍欧拉在1736年解决的哥尼斯堡的七桥问题：哥尼斯堡的普雷格尔河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个问题看起来很简单有很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。而后的“四色问题”等拓扑学经典问题都向我们展现了拓扑学的广泛应用以及它独特的思考方式。为我们用学好数学以及更深刻的理解数学提供了一种思路。下面我将谈谈我在本学期对本书前三章的学习心得体会。首先，在《集合论与逻辑》一章中，我们利用高中所学知识就可以很容易的理解集合与函数的相关概念，比如集合中的每一个事物都叫做“元素”，也可以叫做“成员”、“点”，集合根据元素个数可以分为有限集合和无限集合。同样，我们又学习了集合与元素、集合与集合之间的表示以及集合间的运算等。而这其中我们首次接触到集合的族的概念，即以集合作为元素的集合我们称之为“族”。同时也给出了有限集和无限集的定义，这与我们在《近世代数》中所学的定义是不一样的，但它也给我们新的思考方式。开集的概念直接传承于开区间，但却是抽取了开区间这个概念的本质内容所形成的。开集最终是一个适合范围很广的概念，也在某些性质上与开区间概念有所不同。设某非空集合X，它的幂集为2^X。若某集族T是该幂集的子集，同时还满足下述三个公理：1)、T中的任何元素（元素是集合）之并还是属于T；2)、T中的任何有限个元素之交还是属于T；3)、X本身以及空集是T的元素。上述三个公理称作“开集公理”。所以一个拓扑指的就是满足开集公理的一个开集族。一个集合的幂集的任意一个子集，只要其中的元素（集合）满足开集公理，那么这个子集就是这个集合的一个拓扑。由此可见，一个集合的拓扑可以有很多个，配上不同的拓扑，就形成了这个集合的不同的结构。一个开集族决定了集合中元素与元素之间的“连续性”属性，元素与元素之间的连续性决定了这个集合的几何结构。比如在这个拓扑下，元素1和元素2是连续的，或者称为是相邻的；而在另一个拓扑下，这俩元素完全可以是分隔开的，不连续的。其次，在《拓扑空间与连续函数》一章中，给出了拓扑空间的定义：设X是一个集合，T是X的一子集族，如果T满足：（1）Ø，XT，（2）有限交封闭，（3）任意并封闭。则称T为X的一拓扑空间。以及拓扑的基的满足：（1）对于每一个Xx，至少存在一个包含x的基元素B，（2）如果2121,,BBxBBB的交，那么存在BB3，使得213BBBx。而我认为，集合的闭包与内部的定义性质以及相互的关系也是本章节的重点。即：拓扑空间X的一个子集A的内部定义为包含于A的所有开集的并，而A的闭包定义为包含着A的所有闭集的交。而在学习连续函数这一小节时，我们除了联系数学分析中所学知识去学习本节的相应知识点，还要理解到，（1）对应法则、定义域空间拓扑，至于空间拓扑共同决定该函数的连续性；（2）连续函数的本质是开集的原像是开集，基的原像是开集，子基的原像是开集；（3）拓扑的性质是同胚把开集映射成开集，两拓扑空间同胚、开集一样，从而拓扑性质一样。在学习箱拓扑和积拓扑的定义之后，对两者进行比较可以发现对于有限积aX，两种拓扑是一样的，而一般来说箱拓扑更细于积拓扑。在度量拓扑的学习中，我印象最深的是老师给我们拓展的四种空间，即拓扑空间、度量空间、赋范空间、内积空间的定义，并给出一致拓扑细于积拓扑，又粗于箱拓扑的定理，为我们理解这些拓扑，把握其中的区别也给出了很多很好的例子解释。而《连通性与紧致性》一章中，我学习了连通性与紧致性的定义，即设X是一个拓扑空间，所谓的X的一个分割，是指X的一对无交的非空开集U和V，它们的并等于X，而如果X的分割不存在，则称空间X是连通的。而连通性的定义其实在数学分析中也有提到，这对我加深对其定义的理解起到了很好的效果，使我不易畏惧对该定义的学习。而我在学习中也发现证明X是连通空间，常常采用了反证法来进行。连通性也可以定义为：空间X是连通的当且仅当X中既开又闭的子集只有空集和X本身。对于连通性，有四个性质值得我们仔细学习，即：含一个公共点的X的连通子空间族的并是连通的；设A是X的一个连通子空间，若ABA,则B也是连通的；连通空间在连续映射下的像是连通的；有限多个连通空间的笛卡尔积是连通的。而紧致性的定义为：若X的任何一个开覆盖A，包含着一个覆盖X的有限自族，则称空间X是紧致的。而紧致空间中最核心的一点是任意开覆盖有有限子覆盖。以上是我对本书学习中学的较明白的一些知识的理解和认识。在学习本书中，我也有一点体会：第一，这门课程真的十分抽象，它完全不同于我们所学的其他数学课程，如数学分析、高等代数、解析几何、复变函数、常微分方程等，而且本书基本都是证明题，要求了较高的逻辑推理能力和抽象思维能力。而且知识间的联系是十分紧密的，如集合知识是拓扑学的基础，也是预备知识，而连续函数一章则是本书的重点。因此，如果其中一个知识点不清楚，那么在学习其后的知识就显得十分吃力。第二，本门课程与我们已经学习的其他学科有很大的联系，如连通性、极限存在的条件、敛散性我们在数学分析中已经接触，集合、函数、连续性等也是我们在高中就学习过基本的定义，笛卡尔积的定义也在近世代数中学习到。因此，作为初学者，我们应该注意这些概念上本质性的问题与其他学科的联系，这样才能避免与其他学科的定义混淆。第三，由于度量的观念在我们学生的脑海中根深蒂固，因此在学习本门课时，九五不感到这门学科简直是一个不可思议的自在之物，而此时，脑海中的度量观念不但不能成为帮助我们进行思维的一种工具，相反，却成为我们理解和运用拓扑学的原理及思想方法的主要障碍。因此，我们应该避开以度量的观念去思考拓扑学问题，这样才能正确理解到拓扑学这门学科。连续性与离散性这对矛盾在自然现象与社会现象中普遍存在着，数学也可以粗略地分为连续性的与离散性的两大门类。拓扑学对于连续性数学自然是带有根本意义的，对于离散性数学也起着巨大的推进作用。例如，拓扑学的基本内容已经成为现代数学工作者的常识。拓扑学的重要性，体现在它与其他数学分支、其他学科的相互作用。拓扑学在泛函分析、实分析、群论、微分几何、微分方程其他许多数学分支中都有广泛的应用。因此学好拓扑学会给我们提供更多研究数学的方向。参考文献：[1]《拓扑学（原书第2版）》美JamesR.Munkres著，熊金成吕杰谭枫译[2]《关于点集拓扑学以及它的作用》，杨旭，《松辽学刊·自然科学版》1985年第一期[3]方嘉琳《点集拓扑学》，辽宁出版社[4]《古思想方法》第四册，科学出版社[5]百度百科“拓扑学”