拓扑空间总复习.

拓扑空间总复习题DepartmentofMathematics基本概念一.度量空间1.度量空间的定义2.度量空间的其他概念3.度量空间中的连续映射二.拓扑空间的定义1.拓扑空间的定义（包括子空间与积空间2，常见的拓扑3.拓扑空间的其他概念4，拓扑空间的连续映射与同胚映射DepartmentofMathematics三.拓扑空间中的性质1.连通性与道路连通性2.可数性3.分离性4，紧致性DepartmentofMathematics遗传可乘连续映射下连通性无有有道路连通性无有有紧致性无有有连通性，道路连通性与紧致性有闭遗传DepartmentofMathematics遗传可乘连续映射下有有满和开21,AA可分空间无有有Lindeloff空间无无有有闭遗传DepartmentofMathematics遗传可乘连续映射下有有无012,,TTT正则性有有无正规性无无无分离性无有无3T有闭遗传4T无无无DepartmentofMathematics紧致空间：闭集紧致子集Hausdorff空间：紧致子集闭集紧致的hausdorff空间：闭集紧致子集DepartmentofMathematics一，选择题1.设X={a,b,c,d}，则下列集族中不是X的拓扑的是2.设X={a,b,c,d}，则下列集族中是X的拓扑的是DepartmentofMathematics3.设(X，T)是拓扑空间，则下列说法不正确的是:4.设X={a,b,c,}，则点b的邻域系为：DepartmentofMathematics5.设X={a,b,c,d}，则下列子空间不连通的是：6.设X={a,b,c,d}，则（X，T）的连通分支是：DepartmentofMathematics7.8.9.{}cxTDepartmentofMathematics10.11.DepartmentofMathematics12.DepartmentofMathematics选择题12DepartmentofMathematics789DepartmentofMathematics1011121314DepartmentofMathematics二，填空题1.在实数空间R中，有理数集Q的导集是()2.当且仅当对于的每一邻域有()3.4.5.若拓扑空间有一个可数稠密子集，则称是一个()()xdA({})UAxR设A是有限补空间X中的一个无限子集，则()dA=（）X、若拓扑空间X存在两个非空的闭子集,AB,使得,ABABX,则X是一个（）不连通空间可分空间DepartmentofMathematics1。从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射()三，判断题√2.设12,TT是集合X的两个拓扑，则12TT不一定是集合X的拓扑()×3.Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集.()√4，设,AB是拓扑空间X的两个紧致子集，则AB是一个紧致子集.()√5，设{1,23}X，，{,,{1},{3},{1,3}}XT，则(,)XT是4T空间.()×DepartmentofMathematics五，证明题1.2.3.4.举例说明不是拓扑12TT5.DepartmentofMathematics6.8.7.Hausdorff空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点．DepartmentofMathematics9.10.11.12.14.13.DepartmentofMathematics15证明欧氏平面中的子集}1,,),{(221yxRyxyxS2E是连通的.证明:定义映射,使的对任意1:SEfRt1)2sin,2(cos)(Stttff是一个连续映射，且,所以是连通的1)(SEf1S16证明欧氏平面和实数空间E不同胚．2EDepartmentofMathematics所以应该是连通,证明:用反证法,假设和E同胚,则存在一个同胚映射,令2EEEf2:EEfgE}0{:2}0{2此时,是连续的,并且有)}0({})0{(2fEEgg而不是区间,所以不连通.矛盾)}0({fE)}0({fEDepartmentofMathematics17.19.18.20.设A是实数空间R的一个子集．A是包含着不少于两个点的一个连通子集当且仅当A是一个区间．DepartmentofMathematics