有关椭圆焦点弦的高考题的探究

有关椭圆焦点弦的高考题的探究上海市育才中学龚新平201801（发表在《中学生数学》杂志2007-9上）刚结束的2007年重庆市高考第22题是关于椭圆的焦点弦一类问题，给我留下了深刻的印象和许多思考，本文将对该问题加以分析和探究。问题：中心在原点O的椭圆的右焦点为(30)F，，右准线l的方程为：12x。（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三点1P，2P，3P，使122331PFPPFPPFP∠∠∠，证明：123111FPFPFP为定值，并求此定值。解：（I）易得所求椭圆方程为2213627xy；（2）记椭圆的右顶点为A，并设iiAFP（i1，2，3），不失一般性，假设1203≤，且2123，3143。又设点iP在l上的射影为iQ，因椭圆的离心率12cea，从而有eFPccaeQPFPiiiiicos21(9cos)2iiFP(123)i，，。变形得：1211cos92iiFP(123)i，，。3131cos211921iiiiFP，)34cos()32cos(cos21392111131iiFP，而)34cos()32cos(cos1110)32cos(32cos)32cos(211，故12311123FPFPFP为定值．探究一：对于一般的椭圆方程，是否也有类似的定值呢？由上述证明，不难得到：（1）焦点为F的椭圆12222byax上三点1P，2P，3P，且122331PFPPFPPFP∠∠∠，则有123111FPFPFP=23ba。证明：这里也可以采用极坐标的方法来证明。（由椭圆的对称性知：不妨设点F为左焦点）OF3P1Pxl2Py1QA由圆锥曲线的极坐标方程cos1eep，得)3,2,1(cos11iepeii。不失一般性，设3201，且3212，3413，则有：epeepeepe)34cos(1)32cos(1cos1111111321epe))34cos()32cos((cos3111111321222232133)(33111bacaaccaacep，即：123111FPFPFP=23ba。（2）焦点为F的双曲线12222byax同支上三点321,,PPP，且122331PFPPFPPFP∠∠∠，则有321,,FPFPFP倒数的代数和为定值23ba。（允许极径为负值，证明同（1））（3）焦点为F的抛物线pxy22上三点321,,PPP，且122331PFPPFPPFP∠∠∠，则有123111FPFPFP=p3。（证明同（1））探究二：前面的问题均限于三点，能否推广到n个点呢？由上面的证明，我们不难得到：（1）焦点为F的椭圆12222byax上依次有n个不同的点nPPP,,21，且满足13221FPPFPPFPPn，则有nFPFPFP11121=2bna。证明：由圆锥曲线极坐标方程cos1eep，得),2,1(cos11niepeii。不失一般性，设n201，且,212n，nnn)1(21，则有：epnneepneepen))1(2cos(1)2cos(1cos111111121epnnnenn)))1(2cos()2cos((cos11111121由复数n次单位根的知识，易得：0))1(2cos()2cos(cos111nnn222221)(111bnacanaccaacnepnn。特别的，当2n及4n时，就是我们常见的椭圆中过焦点作直线的焦点弦问题。（2）焦点为F的双曲线12222byax同支上有n个不同点nPPP,,21，且满足13221FPPFPPFPPn，则有nFPFPFP,,21倒数的代数和为定值23ba。（允许极径为负值，证明同（1））（3）焦点为F的抛物线pxy22上顺次有n个不同点nPPP,,21，且满足13221FPPFPPFPPn，则有nFPFPFP11121=pn。特别的，当2n及4n时，就是我们常见的抛物线中过焦点作直线的焦点弦问题。探究三：如果研究对象不是焦点弦，而是中心距),2,1(niOPi，是否也有类似的结论呢？中心为O的椭圆12222byax上依次有n个不同点nPPP,,21，且满足3221FPPFPP1FPPn，则有22221111nOPOPOP=22222)(baban。证明：设nirrPiiiii,2,1),sin,cos(，不失一般性，设n201，且,212n，nnn)1(21，代入方程12222byax，得1)sin()cos(2222brariiii，222221sincosiiirba，所以)22cos122cos1()sincos(12121222212babariniiniiinii222202222222122)(2cos)2121(2)()22cos122cos1(babanbababanbaniiinii。从而有：22221111nOPOPOP=22222)(baban。探究四：如果我们将椭圆的长轴分成n等份，结果会怎样呢？于是有：将椭圆12222byax的长轴AB分成n等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于121,,nPPP共1n个点，F是椭圆的一个焦点，则anFPFPFPn)1(121。证明：设niyxPiii,2,1),,(，1111121)1()(niiniinxacanxacaFPFPFP，由椭圆的对称性可知：011niix，所以anFPFPFPn)1(121。特别地，当8n时，即是2006年四川省高考题：将椭圆2212516xy的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于721,,PPP七个点，F是椭圆的一个焦点，则721FPFPFP35。探究五：若变换成条件021nFPFPFP,是否有类似结论呢？我们继续如下探究：（1）焦点为F的椭圆12222byax上依次有n个不同点nPPP,,21，若满足021nFPFPFP，则有nFPFPFP21=anb2。证明：设niyxPiii,2,1),,(，由021nFPFPFP得0)(1niicx，得：ncxnii1，从而：anbacanxacnaxacaFPFPFPniiniin221121)()(。同理，双曲线也有与（1）几乎完全一样的结论！（2）焦点为F的抛物线pxy22上依次有n个不同点nPPP,,21，若满足021nFPFPFP，则有nFPFPFP21=np。证明：设niyxPiii,2,1),,(，由021nFPFPFP得0)2(1niipx，得：21npxnii，从而：npxnppxFPFPFPniiniin11212)2(。特别地，当3n时，即为2007年全国高考题：设F为抛物线24yx的焦点，ABC，，为该抛物线上三点，若FAFBFC0，则FAFBFC6。参考文献：2007年重庆市高考试卷（理科）