有限元例题及答案

例8-1：E，A，L，s杆I弹塑性；杆II弹性。求sAF3下2点位移。解：（1）理论解在荷载sAF3作用下，杆I屈服而有内力（拉力）SAN1，杆II内力（压力）为sIIAN2，中点2位移取决于杆II的变形，即22)2(ELAELAlSSII式中ELs（屈服位移）（2）直接迭代法杆I和杆II的刚度分别为)()(LEAAISkLEAkII①迭I迭代步迭代从0开始，这时有LEAkkKIII205.15.123101ELLEAAFKSS②第2迭代步杆I进入塑性，有LEAAksI67.01杆Ⅱ完全弹性，刚度不变。因此，总刚为LEAkkKIII67.118.18.167.13112ELLEAAFkSs整个迭代过程见表8-1。表8-1直接迭代法各次迭代结果迭代步1234567lEAnK)1(2.001.671.551.521.511.501.50n1.501.801.931.981.992.002.00(3)切线刚度法杆Ⅰ和杆Ⅱ的切线刚度分别为)()(0LEAIkLEAkII①第1迭代步初始状态时，00，杆Ⅰ，Ⅱ中应力、应变均匀为零。总刚为：LEAkkKTTIT21由FKT，得SA30由nTnnK1得，5.1)3(210SALEA由式nnn1得，s5.11杆中应力：SSI5.111杆中内力：SSIANAN5.111②第2迭代步由于杆I已进入塑性，杆Ⅱ仍处弹性，总刚：LEAkkKTIITIT2由FKT，得SSSAAA5.035.21由nTnnK1得，5.0)5.0(11SALEA由式nnn1得，0.2112杆中应力：SIISIANAN0.222检验FKT，有030.32SSAA迭代平衡。（4）初应力法迭代公式为1103nSnnFAFFK式中，FLEAKO,2是由初应力转化而得到的等效结点力，即矫正荷载。由于杆II完全弹性，它对有贡献。初应力完全是杆I按弹性计算及按真实应力-应变关系计算的应力之差。在初始弹性计算，有LELEAAKFSS5.12301在第I迭代步，由}]{[)(}{0Df，有初应力sss5.05.1)(10由式nnAF)(0，与初应力对应的结点载荷为SAF5.01由式nnFK10，对位移进行一次矫正ELLEAAFKSS25.0)2(5.01101位移的第2次近似值为ELs75.1112整个迭代过程见表8-2。表8-2初应力法各次迭代结果迭代步1234567AFsn100.50.750.880.940.991.00n1.501.751.881.941.972.002.00