有限元分析第六章

11第六章非协调单元第二章至第五章的讨论以最小势能原理为基础，要求在单元内假设的位移场（试探函数）满足协调条件（在不同的单元内可以假设不同的的位移场）。满足协调条件的单元，它们的收敛性等问题已在第四章中做了研究。等参数单元就是目前处理二阶问题时应用最广的一种协调单元。此外，还有一些单元，它们不满足协调条件，但仍可以收敛到真实解，这类单元称为非协调单元，可以看成是对等参数单元的一种改进，目的在于：在计算量增加不多的情况下，使单元的实际精度有所改善。对于四阶问题（例如板、壳），协调条件要求单元之间位移和位移的一阶导数（转角）连续。在第七章中将会看到，实现上述协调条件不是件容易的事，而且为此要增加相当大的计算量，因而人们在自编程序中常常对非协调单元感兴趣。本章只讨论二阶问题，主要包括：非协调元的构造和分析方法，非协调元的理论基础（显然不能再利用最小势能原理），收敛判别方法。这些结论对四阶问题同样适用。从关于非协调元的讨论中，读者可以看到，有限元方法有了坚实的数学基础以后，在构造方法时思路可以开阔很多。§6-1Wilson非协调元Wilson非协调元可以看成是由等参数单元演变来的单元，现以二维情况为例。１、母体单元形函数母体单元ê：边长为２的正方形自然坐标：ξ、η取四个角点为节点，在单元内的序号为１~4。形函数２、实际单元e可看成母体单元ê经变换F得到利用上面定义的形函数，坐标的变换可写成其中（xi,yi）为实际单元中节点的坐标。至此，还看不出Wilson非协调单元与上一章介绍的等参数单元之间的差别。３、单元内假设位移场图６－１ηêξ４３２１（-1,1）（1,1）（1,-1）（-1,-1）y,vx,u0e4321(x4,y4)(x3,y3)(x2,y2)(x1,y1)图６－２）　（4~1)1)(1(41),(iNiiieeFˆ：　4141iiiiiiyNyxNx)1()1(),()1()1(),(242341222141iiiiiivNvuNu(6-1-1)22同四节点等参元相比，单元内假定的位移场多了四项：它们有如下特性：（１）不影响节点处的位移值，故称αl为非节点自由度或单元的“内自由度”。在计算单元变形能和单元体积力做功时计入这些位移；但在计算边界外力做功（为了将边界力化为等效节点力）时不计这些位移。即在计算边界外力做功时只计Niui、Nivi各项。（２）补充这些项后，单元内的位移场是ξ、η的完全二次多项式。当实际单元e为矩形时，单元内位移场将是x、y的完全二次多项式。（３）协调性分析沿单元的一边，例如节点１、２所在的边，η＝－１。u,v是ξ的二次函数，完全被u1,v1,α1,和u2,v2,α3所决定。但由于不同单元的α1~α4彼此独立，故不能保证单元之间位移的协调性。对于不满足协调条件的单元，显然不能再用最小势能原理。尽管如此，人们仍然照搬协调单元的一些具体做法（这样，对协调元编制的程序基本上可以照搬）。至于能否保证收敛到真实解等问题，留待下面几节加以讨论。现假如我们研究某个具体的平面应力问题。节点总数为n，单元总数为m。则总的自由度可区分为：节点自由度单元内自由度系统的总势能定义为其中号单元的变形能；号单元体积力做功；为各边界外力在位移上做的功之和。我们将把由y,vx,u0e4321图６－3ηêξ４３２１（ξ,-1）ＭMˆu2v2v1u1)1()1()1()1(24232221、、、）　　（nivuii~1,）　（、、、４３２１mijjjj~1)()()()(SmjejmjejhWWV11Ｐ(6-1-2)jVej,　jWej,　SW4141iiiiiivNuN、　））　、　　）　　）　　4~1(~1(0~1(0~1(0)(lmjnivniujlhPihPihP(6-1-3)33求得的ui,vi,αl(j)以及由此求得的应力做为非协调单元的的有限元解。在（6-1-3）中共有2n+4m个未知量。比四节点等参元多了４m个未知量。但是α1(j)、α2(j)、α3(j)、α4(j)仅属于第j号单元，故有这样，就可以在单元分析时先消去αl(j)（这一步骤称为静凝聚），只剩下ui,vi进入总体平衡方程。４、单元分析静凝聚在单元分析中，节点仍取它在单元内的序号，并约定：单元的外自由度为：单元的内自由度为：（6-1-1）所定义的单元位移场可写成（１）几何矩阵应变其中[B]为几何矩阵。（２）单元刚度矩阵和体积力载荷向量单元刚度矩阵，该矩阵为一阶的方阵单元变形能）　　　4~1(0)()()(lWVjlejjlejjlhP(6-1-4)Tvuvuvuvuu44332211Tu4321uuNNNNNNNNvu)1()1(00000000)1()1(0000224321224321(6-1-5)uuBvuxyyxxyyx00)1()1(00000000)1()1(000000224321224321NNNNNNNNxyyxB(6-1-6)dtdJBEBtdxdyBEBkTTedet1111(6-1-7)121244由于[k]为对称阵，必有以及体积力做功其中体积力载荷向量（３）静凝聚略去（6-1-4）中的单元编号j，以（6-1-9），（6-1-10）代入，（变形能对内部自由度取偏导）并注意到则有解得将（6-1-12）代入（6-1-9）和（6-1-10）有（6-1-13）右端第三项与{uΙ}无关，不影响πPh取驻值。第一项为{uΙ}的二次型，[k]为凝聚掉内自由度后的单元刚度矩阵。{r}为凝聚内自由度后的载荷向量。它们的计算式为uukkkkuuuukuuVTTe2121kkT(6-1-8)ukuukuukuukuukuukuukuVTTTTTTTe2121)(21(6-1-9)Tyxff,rruuddJtffvutdffvuWTyxTyxTeedet1111(6-1-10)ddJtffNNNNNNNNrryxTdet)1()1(00000000)1()1(00001111224321224321(6-1-11)Tu43210rukukrkukku11(6-1-12)rkrruukuWVee1TTT21~~21(6-1-13)~~rkkrrkkkkk11~~(6-1-14)(6-1-15)55为了避免对一个的方阵[kⅡ]求逆，静凝聚可以分四次进行，每次只凝聚一个内自由度。（４）边界外载荷的等效节点力积分沿单元受到载荷的边界SP进行。其中为作用在单位面积上的边界载荷。５、组装及求解总体方程由[k]组装总体刚度矩阵[k]。由{r}、{rs}组装总体载荷向量{F}。在上述组装过程中可以引入强制位移约束条件。求解总体平衡方程可得到节点位移ui、vi(i=1－n)具体作法与协调单元作法相同。最后强调一点：静凝聚与非协调元是两个不同的概念。静凝聚的目的是消去内自由度，以减少总体平衡方程的规模。不论是协调元还是非协调元，只要存在内自由度，都可以在单元分析过程中将内自由度凝聚掉；不进行静凝聚，除了增加解总体方程的工作量外不会有其它任何（好的或不好的）影响。静凝聚方法也广泛地用于组合单元和子结构，是一项很有价值的技术。至此，我们对非协调元的印象是：（i）分单元假设的位移场（即试探函数）不完全满足协调条件；（ii）形式上套用了协调元的具体作法。至于能否收敛到真实解，到目前为止并不清楚。实际情况是：有时能保证收敛性，有时则不能。为了明确回答这些问题，必须涉及有关非协调元的数学理论。§6-2非协调元的基本理论为了简单，以泊松方程为例，基本未知量只有一个，变形能的表达式也比较简单。１、有限元空间Wilson非协调元的基函数中与四节点等参元的基函数相同者记作φi(i=1~n)。与单元内自由度有关的形函数记作ψl(l=1~2m)。其中φi满足协调条件。ψl不满足协调条件，穿过单元边界时ψl有有限跳跃量。即为δ一函数。试探函数在穿过单元边界时也可能有有限跳跃量。故φi、ψl所张成的有限元空间Ｓh仅是L2的一个子空间（函数自身平方可积）。不是H1（协调单元的有限元空间）的子空间（一阶导数平方可积）。基函数ψl，j-1、ψl,j仅在第j号单元内的非零，且对一般的非协调元来说，它的基函数或者一部分不满足协调条件。或者全部不满足协调条件。这些基函数张成的有限元空间Sh均不是容许空间（二阶问题的容许空间为H1）的子44TyxpptdsppNNNNNNNNryxTssP4321432100000000(6-1-16)Tyxpp~~FUKyxll、　mjjljjljiniiuu1,)(21,)(11)((6-2-1))1()1(2,21,jljl(6-2-2)~66空间。２、内积和模泊松方程在整个求解域内其变形能为由于当Sh不是H1(Ω)的子空间时，试探函数u在穿过单元边界时为δ──函数。积分（6-2-4）在整个求解域内积分不存在。但是，在单元e内积分存在。根据上述事实，我们定义如下：内积：当u、v∈Sh时，u、v的内积定义为“变形能”：能量模：３、有限元解若在（6-1-2）中以表示变形能。以(f,u)表示体积力的功，以（p,u）表示边界外力的功，则有对于Wilson非协调元，我们曾约定：计算边界力做功时，位移中不包括单元内自由度的位移成份，即不包括基函数ψj的分量。当所有边界条件均为位移边界条件时，（p,u）项不出现。Sh中使取驻值的元素即为非协调元的有限元解uh。或者换个提法：找一个元素uh∈Sh，使得对任何δu∈Sh都有由于δu为φi、ψl的线性组合，非协调元的解还可以定义为：找一个元素uh∈Sh，使得fyuxu2222(6-2-3)dxdyyuxu22)()(21(6-2-4)dxdyyuxue22)()(21dxdyyvyuyvxuvuDmjehj1)))(())(((),(（6-2-5）dxdyyuxuuuDmjehj122))()((21),(21（6-2-6）),(uuDuhh(6-2-7)),(21uuDh),(),(),(21upufuuDhhP(6-2-8)),(),(21ufuuDhhP(6-2-9)hP0),(),(),(upufuuDhhhP(6-2-10)）　　（内部　）　　（外围　mlfuDnipfuDllhhiiihh2~1