振动习题答案

《振动力学》——习题第二章单自由度系统的自由振动2-1如图2-1所示，重物1W悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W从高度为h处自由下落到1W上且无弹跳。试求2W下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。解：222221vgWhW，ghv22动量守恒：122122vgWWvgW，gh平衡位置：11kxW，kWx111221kxWW，kWWx2112故：kWxxx211202121WWkggWWkn故：tvtxtxtxxnnnnnnsincossincos12000xx0x1x12平衡位置2-2一均质等直杆，长为l，重量为w，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。解：给杆一个微转角2a＝h2F＝mg由动量矩定理：ahamgamgFaMmlIMI822cossin12122其中12cossinhlgaphamgmln22222304121ghalgahlpTn3π23π2π2222-3一半圆薄壁筒，平均半径为R,置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求其摆动的固有频率。图2-3图2-42-4如图2-4所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。图T2-9答案图T2-9解：（1）保持水平位置：mkkn21（2）微幅转动：mglllF2112mgl1l2x1x2xxmglllF2121k2k1ml1l2mgkkllklklmgkkllkllklllklmgkkllklkllllkllmglmgklllkllllllkllmgllllxxkFxxx2122122212121221221121212221212211211121212122211211121221112111故：22212121221klklkkllkemken2-5试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB在A点的等效质量。已知杆的质量为m，A端弹簧的刚度为k。并问铰链支座C放在何处时使系统的固有频率最高？图2-5图2-62-6在图2-6所示的系统中，四个弹簧均未受力。已知m=50kg，19800Nmk，234900Nmkk，419600Nmk。试问：（1）若将支撑缓慢撤去，质量块将下落多少距离？（2）若将支撑突然撤去，质量块又将下落多少距离？｛2.17｝图T2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k1=k2=k3=k4=k，试问：（1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？（2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？图T2-17解：kkkkkkkkkkkkkkkk213224123412312342312311233223（1）01234xkmg，kmgx20（2）txtxncos0，kmgxx420max2-7图2-7所示系统，质量为m2的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。试求此系统的固有频率。图2-7解：系统动能为：k1k2k3k4m2222212222222212123212121212121xmxmRImrxrmxmRxIxmTe系统动能为：2222211222112221212121xkxRRkkxRRkxkVe根据：maxmaxVT，maxmaxxxn2221222112223mRImRRkkn2-8如图2-8所示的系统中，钢杆质量不计，建立系统的运动微分方程，并求临界阻尼系数及阻尼固有频率。图2-8解：0bbkaacllm0222kbcamlmklbmlkbn22nmlca222，kmmlbcamlcan2222242222222422421411acbkmlmlkmblmacmklbnd由mkablc2212-9图2-9所示的系统中，m＝1kg，k＝224N/m，c＝48N.s/m，l1＝l＝0.49m，l2＝l/2，l3＝l/4，不计钢杆质量。试求系统的无阻尼固有频率n及阻尼。图2-9｛2.26｝图T2-26所示的系统中，m=1kg，k=144N/m，c=48N•s/m，l1=l=0.49m，l2=0.5l，l3=0.25l，不计刚杆质量，求无阻尼固有频率n及阻尼。ablbkaclm图T2-26答案图T2-25解：受力如答案图T2-26。对O点取力矩平衡，有：0223311llkllcllm0222321klclml041161kcm36412mknsradn/6nmc216125.02116nmc第三章单自由度系统的强迫振动3-1如图3-1所示弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一激振力0()sinPtPt。试求质量块的振幅。图3-1解：设弹簧1，2的伸长分别为x1和x2，则有，21xxx（A）由图（1）和图（2）的受力分析，得到tPxkxksin02211（B）mO2lk1lm3lcl1mkcl2l322xkxm（C）联立解得，tPkkkxkkkkxmsin02122121tPmkkkxmkkkkxsin)()(02122121所以)(2121kkmkkpn，n=0，得，2102222222)(11)2()1(1)2()(nnpkPkHnphB图3-23-2图3-2所示系统中，刚性杆AB的质量忽略不计，B端作用有激振力0()sinPtPt，写出系统运动微分方程，并求下列情况中质量m作上下振动的振幅值：（1）系统发生共振；（2）等于固有频率n的一半。解：图（1）为系统的静平衡位置，以为系统的广义坐标，画受力如图（2）tlPlkllclIsin3)3(3)2(20又I＝ml2tPmlmkmcsin340则mlphmcnmkpn023,429mgBP0sintAXAYAFCFK22222222)2()()2()(nphllBBnphBnn1）系统共振，即npkmcpmkmclmlpnphlBn494)/3(2002）nP213-3建立图3-3所示系统的运动微分方程，并求出系统的固有频率n，阻尼比以及稳态响应振幅。图3-3解：以刚杆转角为广义坐标，由系统的动量矩定理22)(4cllxlkmls即tlkamkmcsin44mkckpmkmcmklmlpnpphlBnn81641194944273)(43202220222令，mkpn4，mcn42，nnmpcpn8，mlkah4，np得到2222)2()(nphBn22222222)2()1(2)2()1(242appnpplmlkalBBnnnn3-4一机器质量为450kg，支撑在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5cm，机器有一偏心重，产生偏心激振力202.254Pg，其中是激振频率，g是重力加速度。试求：（1）在机器转速为1200r/min时传入地基的力；（2）机器的振幅。解：设系统在平衡位置有位移x，则0mxkxF即0Fkxxmm又有stmgk则stmgk（1）所以机器的振幅为2021FBk（2）且np，40rads（3）又有2nstkgpm（4）将（1）（2）（4）代入（2）得机器的振幅B=0.584mm则传入地基的力为514.7TpkBN2-9一个粘性阻尼系统在激振力tFtFsin)(0作用下的强迫振动力为6πsin)(tBtx，已知6.190FN，B=5cm，π20rad/s，求最初1秒及1/4秒内，激振力作的功1W及2W。0110101100140201400:()sin19.6sin20()cos()cos(20)66W=P(t)x(t)19.6sin20cos(20)6cos404.93|4.9(1cos80)4015.39()()19.6sin20cPtPwttxtBwwttdtttdtttdtJWPtxtdtt由已知可得同理可得:os(20)60.0395tdtJ3-5证明：粘滞阻尼利在一个振动周期内消耗的能量可表示为202222(1)(2)PEk证明222002222222002222222cos()/14/21412TEcBtdtcBFkBFkFEck3-6单自由度无阻尼系统受图3-6所示的外力作用，已知(0)(0)0xx。试求系统的响应。图3-6解：由图得激振力方程为22111100)(tttttPttPtF当0tt1时，1)(PF，则有]cos1[)(sin)(2101tpmpPdtpmpPtxnntnn由于mkpn2，所以有]cos1[)(1tpkPtxn当t1tt2时，1)(PF，则有101)(sin)(tnndtpmpPtxttnndtpmpP1)(sin1)](cos1[]cos)([cos1111ttpkPtpttpkPnnn当tt2时，0)(F，则有101)(sin)(tnndtpmpPtxttnndtpmpP1)(sin1+0)](cos)([cos]cos)([cos12111ttpttpkPtpttpkPnnnn图3-73-7试求在零初始条件下的单自由度无阻尼系统对图3-7所示激振力的响应。解：由图得激振力方程为111000)1()(ttttttPtF当0tt1时，)1()(10tPF，则有]sin1cos1[)(sin)1(1)(110010tptptpttkPdtptPmptxnnntnn当tt1时，0)(F，则有)]}(sin[sin1cos{0)(sin)1(1)(1100101ttptptptpkPdtptPmptxnnnntnn3-8图3-8为一车辆的力学模型，已知车辆的质量m、悬挂弹簧的刚度k以及车辆的水平行驶速度v。道路前方有一隆起的曲形地面：2cossyaxl1-（1）试求车辆通过曲形地面时的振动；（2）试求车辆通过曲形地面以后的振动。图3-8解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为，)(syykym由曲形地面∶xlays2cos1，得到skykyym得到系统的激振力为，)2cos1()(xlkaF。2()(1cos)xvtFkavtl（1）车通过曲形地面时10tt