期中复习等腰三角形

等腰三角形◆考点聚焦1．等腰三角形的判定与性质．2．等边三角形的判定与性质．3．运用等腰三角形、等边三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题．◆识记巩固1．等腰三角形的性质定理及推论：____________________________．2．等腰三角形的判定定理及推论：____________________________．识记巩固参考答案:1．等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边（三线合一）；等边三角形的各有都相等，且每个角都等于60°.2．如果一个三角形的两角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）．三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.◆典例解析例1（2011浙江衢州，23,10分）ABC是一张等腰直角三角形纸板，Rt2CACBC，.要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为1S；按照甲种剪法，在余下的ADEBDF和中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为2S(如图2)，则2=S；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分（第23题）（第23题图1）PNDFEBACCABQM别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为3S(如图3)；继续操作下去…则第10次剪取时，10S.求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.【答案】(1)解法1：如图甲，由题意得,1,1CFDEAEDEECECS正方形即.如图乙，设MNx，则由题意，得,AMMQPNNBMNx222322,3228()39PNMQxxS正方形解得又819甲种剪法所得的正方形的面积更大说明：图甲可另解为：由题意得点D、E、F分别为ABACBC、、的中点，112ABCCFDESS正方形解法2：如图甲，由题意得AEDEEC，即EC=1如图乙，设,MNxAMMQQPPNNBMNx则由题意得22322,3221,3xxECMN解得又即甲种剪法所得的正方形的面积更大(2)212S(3)10912S(3)解法1：探索规律可知：112nnS‘剩余三角形的面积和为：12109911112212422SSS解法2：由题意可知，第一次剪取后剩余三角形面积和为112=1=SS第二次剪取后剩余三角形面积和为12211122SSS第三次剪取后剩余三角形面积和为233111244SSS…第十次剪取后剩余三角形面积和为9101091=2SSS例2如图，△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点．①AD平分∠BAC；②DE⊥AB，DF⊥AC；③AD⊥EF．以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②③；①③②；②③①．（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2）请证明你认为正确的命题．解析（1）①②③正确；①③②错误；②③①正确．（2）先证①②③，如图1．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°．在Rt△AED和Rt△AFD中，,,DEDFADAD∴△AED≌△AFD（HL）．∴AE=AF．∴△AEF是等腰三角形，∴AD⊥EF．再证②③①．图1图2图3方法一：如图2，DE⊥AB，EF⊥AD，DF⊥AC．易证△DEH∽△DAE，△DFH∽△DAF．∴,DEDHDHDFADDEDFAD，∴DE2=AD·DH，DF2=DH·AD．∴DE2=DF2，∴DE=DF，∴AD平分∠BAC．方法二：如图3，取AD的中点O，连结EO，FO．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴OE，OF分别是Rt△ADE，Rt△ADF斜边上的中线．∴OE=12AD，OF=12AD．即O点到A，E，D，F的距离相等．∴A，E，D，F四点在以O为圆心，12AD为半径的圆上，AD是直径，EF是⊙O的弦，而EF⊥AD，∴AD平分EDF，即EDDF．∴∠DAE=∠DAF，即AD平分∠BAC．点评本题是义务教育课程标准实验教科书数学（人教版）八年级上第111页拓广探索题的变式与拓展，该例在教材中多次以不同形式出现，八年级（上）（人教版）第150页第13题，第158页第11题．因此，在九年级的学习过程中一定要重视教材中的典型例题，习题，想一想这些题还可以进行怎样的变式，与前后的知识与方法有什么联系，还可以得到什么结论等．这样可以不断提高自己的综合解题能力．单元练习1．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A．65B．95C．125D．165(第1题)(第2题)(第3题)2．如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是______．3．如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2008的位置，则点P2008的横坐标为_______．4．如图，△ABC为等腰三角形，把它沿底边BC翻折后，得到△DBC，请你判断四边形ABDC的形状，并说出你的理由．5．将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：所剪次数1234…n正三角形个数471013…an则an=_____________________________（用含n的代数式表示）．(第5题)(第6题)6．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中恒成立的有______（把你认为正确的序号都填上）．7．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”“求证”（如图），他们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”；彬彬：“作△ABC的角平分线AD”．数学老师看了两位同学的辅助线后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要证正”．（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．8．如图，已知AB=AC．（1）若CE=BD，求证：GE=GD；（2）若CE=mBD（m为正数），试猜想GE与GD有何关系．（只写结论，不证明）9．如图，E，F分别是等腰△ABC的腰AB，AC的中点．（1）用尺规在BC边上求作一点M，使四边形AEMF为菱形；（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB=5cm，BC=8cm，求菱形AEMF的面积．10．如图，在△ABC中，BCAC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．11．在平面直角坐标系中：（1）若A点坐标为（1，1），在坐标轴上找一点P，使△POA为等腰三角形，这样的P点有多少个？（2）若A点坐标为（2，1），在y轴上找一点，使△POA为等腰三角形，这样的P点有多少个？（3）若A点坐标为（2，1），在坐标轴上是否存在P点，使△POA为等腰三角形？若存在，请写出符合条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案基础过关训练1．C2．125°3．20084．解：ABDC是菱形．∵△ABC是等腰三角形，∴AB=AC．又△ABC≌△DBC，∴BD=AB，DC=AC，∴AB=BD=DC=AC，∴四边形ABDC是菱形．能力提升训练5．3n+16．①②③⑤7．（1）BC的中垂线不一定经过A点（2）略8．（1）证明：方法一，如图1，过D点作DM∥AE交BC于点M．∴∠1=∠ACB，∠3=∠2．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．∴∠B=∠1，∴BD=DM．又∵CE=BD，∴CE=DM．在△DMG和△ECG中，23,,,DGBCGEDMCE∴△DMG≌△ECG（AAS）．∴GE=GD．图1图2方法二，如图2，过点E作EN∥AB交BC的延长线于点N．∴∠B=∠B．又AB=AC，∴∠B=∠1，∠1=∠2．∴∠B=∠2=∠N，∴CE=NE．又∵BD=CE，∴NE=BD．在△BDG和△NEG中，,,,NBDGBEGNNEBD∴△BDG≌△NEG，∴DG=GE．（2）GE与GD的关系是：GE=mGD．9．解：（1）如图．（2）由（1）知：M是BC的中点．∵AB=AC，∴AM⊥BC．∵AB=5cm，BC=8cm，∴EF=4cm，BM=4cm．AM=222254ABBM=3．∴S菱形AEMF=12×3×4=6（cm2）．10．（1）证明：∵DC=AC，CF平分∠ACB，∴F是AD的中点．又∵E是AB的中点，∴EF∥BC．（2）解：设△ABD的面积为S．由（1）知EF=12BD，△AEF∽△ABD．∴6SS=（12）2，∴S=8．∴△ABD的面积为8．11．解：（1）8个．（2）4个．（3）存在．有8个．它们是P1（5，0），P2（-5，0），P3（4，0），P4（0，2），P5（0，5），P6（0，-5），P7（0，52），P（54，0）